四角化菱形十二面体

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四角化菱形十二面体
四角化菱形十二面体
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类别卡塔兰立体
对偶多面体大斜方截半立方体
识别
鲍尔斯缩写
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
siddykid在维基数据编辑
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
node_f1 4 node_f1 3 node_f1 
康威表示法mC
性质
48
72
顶点26
欧拉特征数F=48, E=72, V=26 (χ=2)
二面角155° 4' 56"
组成与布局
面的种类

不等边三角形
面的布局
英语Face configuration
V4.6.8
顶点图V4.6.8
对称性
对称群Oh, B3, [4,3], *432
旋转对称群
英语Rotation_groups
O, [4,3]+, (432)
特性
面可递
图像
立体图
V4.6.8
顶点图

大斜方截半立方体
对偶多面体

展开图

几何学中,四角化菱形十二面体是一种由48个不等边三角形组成的卡塔兰多面体,又称为六八面体(hexoctahedron)[1][2]六角化八面体(hexakis octahedron[3][4][5][6])、八角化立方体(octakis cube、octakis hexahedron)、菱形四角化十二面体(kisrhombic dodecahedron[8]),虽然其具有面可递的性质,然而由于其组成的面不是正多边形因此不能算是正多面体[9],其对偶多面体为大斜方截半立方体

性质[编辑]

四角化菱形十二面体卡塔兰立体的一种[10],即阿基米德立体对偶多面体[11],其对应的阿基米德立体为大斜方截半立方体[12][13]。并具有面可递的性质,这意味着,这立体上的任意两个面A和B,透过旋转或镜射这个立体,使A移动到B原来的位置时,其面仍然占据了相同的空间区域[14]。所有的正多面体都拥有这个特性,然而四角化菱形十二面体并未所有边等长、组成的面也非正多边形,因此不属于正多面体[9]

组成[编辑]

四角化菱形十二面体共由48个、72个、26个顶点组成,其中48个面为全等的三角形、72条边则有3种长度,每个长度各24条、26个顶点当中,有12个四面角顶点、8个六面角顶点、和 6个八面角顶点[15]

四角化菱形十二面体可以将菱形十二面体透过四角化变换来完成,其等价于将菱形十二面体每个面替换成一个顶点和四个三角形[9]或在菱形十二面体的每个面上叠上一个菱形锥来组成四角化菱形十二面体。

体积与表面积[编辑]

一个最短边边长为单位长的四角化菱形十二面体,其表面积A、体积V为[16]

对称性[编辑]

四角化菱形十二面体具有Oh, B3, [4,3] (*432)的八面体群对称性英语Octahedral_symmetry。其每条棱皆代表八面体群对称性的镜射线。其结构也可以透过将立方体在每个正方形面上以正方形的顶点、边中点和几何中心为基准将正方形分成8个三角形、或透过将正八面体在每个三角形面上以正三角形的顶点、边中点和几何中心为基准将正三角形分成6个三角形、或透过将菱形十二面体在每个菱形面上以菱形的几何中心为基准将菱形分成四个三角形来看出。[17]


四角化菱形十二面体

球面镶嵌

立方体

正八面体

菱形十二面体

球极投影[编辑]

与四角化菱形十二面体对应的球面镶嵌可透过透过9个球面大圆来构建[18](即四角化菱形十二面体投影到球面的结果)[10],因此在球极平面投影中,四角化菱形十二面体的棱可以在平面上形成9个圆或中心径向线。这9个圆或中心径向线可以分成两组,其中一组由3个圆或中心径向线组成(下图以紫色表示)、另一组由6个圆或中心径向线组成(下图以红色表示),分别代表其两个正交子群,分别是[2,2]英语Dihedral_symmetry_in_three_dimensions[3,3]英语tetrahedral symmetry

球极投影
平行投影 球极平面投影
图像 Spherical disdyakis dodecahedron
投影对称性 [4] [3] [2]

正交投影[编辑]

四角化菱形十二面体及其对偶多面体大斜方截半立方体存在多个能投影出对称正交投影的投影方向。前两者的对偶图其对称性对应于A2和B2考克斯特平面英语Coxeter plane[19][20]

正交投影
投影对称性 [4] [3] [2] [2] [2] [2] [2]+
图像
对偶图像

面的组成[编辑]

四角化菱形十二面体由48个全等的不等边三角形组成[21]

该三角形三边皆不等长。若其对偶多面体的大斜方截半立方体边长为单位长,则对应的四角化菱形十二面体组成面,最短边长为、次长边长为、最长边长为[15]。若最短边长为单位长,则对应的短边长为1、次长边长为、最长边长为,三个角角度分别为(55.02° ,37.77° ,87.20°)[22]

相关多面体与镶嵌[编辑]

领结立方体和领结八面体的对偶多面体是一个外观与四角化菱形十二面体类似的多面体,其包含了额外的三角形对。[23]

四角化菱形十二面体可以将菱形十二面体透过四角化变换来完成,其等价于将菱形十二面体每个面替换成一个顶点和四个三角形[9],而菱形十二面体可以经由立方体透过会合变换构造,即将立方体每个面贴上角锥,并用适当的锥高,使角锥侧面与邻近面上贴的角锥之测面共面来获得。亦可以从其对偶多面体大斜方截半立方体经对偶变换而来,而四角化菱形十二面体也可以变换回其对偶大斜方截半立方体[24],而大斜方截半立方体也是立方体经过康威变换的结果。因此四角化菱形十二面体可以视为一个以立方体为出发点经由2次康威变换来完成。其他也是由立方体为出发点经由有限次的康威变换产生的多面体有:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
node_1 4 node 3 node  node_1 4 node_1 3 node  node 4 node_1 3 node  node 4 node_1 3 node_1  node 4 node 3 node_1  node_1 4 node 3 node_1  node_1 4 node_1 3 node_1  node_h 4 node_h 3 node_h  node_h 4 node 3 node  node 4 node_h 3 node_h 
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
node_f1 4 node 3 node  node_f1 4 node_f1 3 node  node 4 node_f1 3 node  node 4 node_f1 3 node_f1  node 4 node 3 node_f1  node_f1 4 node 3 node_f1  node_f1 4 node_f1 3 node_f1  node_fh 4 node_fh 3 node_fh  node_fh 4 node 3 node  node 4 node_fh 3 node_fh 
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3
菱形十二面体 四角化菱形十二面体 星形四角化菱形十二面体 反平行四边形二十四面体

在面的布局中,四角化菱形十二面体可以写成V4.6.8 ,其意义为其面由3个顶点组成,每个顶点依序是:四个面的公共顶点、六个面的公共顶点和八个面的公共顶点[25]。其可以进一步的列在V4.6.2n的无穷序列中n为4的位置。

*n32变异对称性4.6.2n的全截镶嵌系列:
对称性
*n32英语Orbifold notation
[n,3]英语Coxeter notation
球面镶嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 欧氏镶嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 紧凑双曲 仿紧双曲 非紧双曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]
*∞32
[∞,3]
 
[12i,3]
 
[9i,3]
 
[6i,3]
 
[3i,3]
图像
顶点英语Vertex configuration 4.6.4 4.6.6 4.6.8 4.6.10 4.6.12 4.6.14英语Truncated triheptagonal tiling 4.6.16英语Truncated trioctagonal tiling 4.6.∞英语Truncated triapeirogonal tiling 4.6.24i 4.6.18i 4.6.12i 4.6.6i
对偶
英语Face configuration V4.6.4 V4.6.6 V4.6.8 V4.6.10 V4.6.12 V4.6.14 V4.6.16 V4.6.∞ V4.6.24i V4.6.18i V4.6.12i V4.6.6i

四角化菱形十二面体图[编辑]

四角化菱形十二面体图
分布4 (12个)
6 (8个)
8 (6个)
顶点26
72
半径4[26]
直径4[26]
围长3
色数3[26]
对偶图大斜方截半立方体图
属性平面, 可积英语Integral graph

图论的数学领域中,与四角化菱形十二面体相关的图为四角化菱形十二面体图(Disdyakis Dodecahedral Graph),是四角化菱形十二面体之边与顶点的图英语1-skeleton[26],是一个阿基米德对偶图[27]

性质[编辑]

四角化菱形十二面体图有72条边和26个顶点,其中为4的顶点有12个、度为6的顶点有8个、度为8的顶点有6个。[26]

特征多项式[26]

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  1. ^ Clipart tagged: ‘forms’. Florida Center for Instructional Technology, College of Education, University of South Florida. [2019-09-02]. (原始内容存档于2018-08-28). 
  2. ^ 六八面體 hexoctahedron. 国家教育研究院. [2019-09-01]. (原始内容存档于2019-09-02). 
  3. ^ Unkelbach, H. "Die kantensymmetrischen, gleichkantigen Polyeder." 5. Deutsche Math. 1940: pp. 306-316. 
  4. ^ Holden, A. Shapes, Space, and Symmetry (Dover Books on Mathematics). Dover Publications. 1971: p. 55. 
  5. ^ 六角化八面體(Disdyakis dodecahedron). 3dwarehouse.sketchup.com. [2019-09-03]. (原始内容存档于2019-09-03). 
  6. ^ Eric W. Weisstein. Hexakis Octahedron. 密歇根州立大学. 1999-05-26 [2019-09-01]. (原始内容存档于2013-06-21). 
  7. ^ The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 285, kisRhombic dodecahedron)
  8. ^ Conway, Symmetries of things[7], p.284
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 9.3 Hexakis Octahedron. Florida Center for Instructional Technology, College of Education, University of South Florida. [2019-09-03]. (原始内容存档于2015-01-21). 
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  11. ^ Gurkewitz, R. and Arnstein, B. Multimodular Origami Polyhedra: Archimedeans, Buckyballs and Duality. Dover Origami Papercraft. Dover Publications. 2012: p. 31. ISBN 9780486136776. 
  12. ^ Eric W. Weisstein. Disdyakis Dodecahedron. 密歇根州立大学. 1999-05-26 [2019-09-01]. (原始内容存档于2013-06-04). 
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  14. ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822 .
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  25. ^ Walter Steurer, Deloudi Sofia. Crystallography of quasicrystals: concepts, methods and structures 126. Springer Science, Business Media. 2009: pp. 18–20, 51–53 [2019-09-03]. (原始内容存档于2017-02-02). 
  26. ^ 26.0 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 Weisstein, Eric W. (编). Disdyakis Dodecahedral Graph. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
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外部链接[编辑]