卡迈克尔函数

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索

卡迈克尔函数OEIS中的数列A002322)满足,其中a与n互质

定义[编辑]

当n为1、2、4、奇质数的次幂、奇质数的次幂的两倍时为欧拉函数,当n为2,4以外的2的次幂时为它的一半。

欧拉函数有

算术基本定理,正整数n可写为质数的积

对于所有n,是它们最小公倍数

例子[编辑]

证明[编辑]

证明当a与n互质时,满足

费马小定理

数学归纳法成立,这是一般情况。

数学归纳法得当时,成立。 [1]

原根的充要条件[编辑]

证明为存在模n原根的充要条件。

当且仅当

必要性[编辑]

,若,则不存在阶为的模n元素,即不存在原根。[1]

λ原根[编辑]

阶为的模n元素为λ原根。模n的λ原根的个数参见OEISA111725

时,3、5为模n的λ原根,因而所有模8余3或5的数都是模n的λ原根。

[1]
[1]

多项式除法[编辑]

余式: [2]

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Robert Daniel Carmichael. The Theory of Numbers. Nabu Press. [2015-07-29]. ISBN 1144400341. (原始内容存档于2020-12-02). 
  2. ^ 黄嘉威. 多项式除法解高次同余. 数学学习与研究. 2015, (9): 第104页 [2017-09-24]. (原始内容存档于2020-10-20).