卡迈克尔函数(OEIS数列A002322)满足,其中a与n互质。
当n为1、2、4、奇质数的次幂、奇质数的次幂的两倍时为欧拉函数,当n为2,4以外的2的次幂时为它的一半。
欧拉函数有
由算术基本定理,正整数n可写为质数的积
对于所有n,是它们最小公倍数:
证明当a与n互质时,满足
由费马小定理得
由数学归纳法得成立,这是一般情况。
由数学归纳法得当时,成立。
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证明为存在模n原根的充要条件。
而当且仅当()
,若,则不存在阶为的模n元素,即不存在原根。[1]
阶为的模n元素为λ原根。模n的λ原根的个数参见 A111725。
当时,3、5为模n的λ原根,因而所有模8余3或5的数都是模n的λ原根。
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余式: [2]