四格骨牌
四格骨牌（Tetromino），又称四连块或四连方，是一种多格骨牌，每块以四个全等的正方形连成[1][2]，反射或旋转视作同一种共有五种，可以英文字母代表。
四格骨牌属于平面的图案，在多连立方中有对应的四连立方或四立方体（tetracube），是由四个全等的立方体组成。
四格骨牌常出现在游戏中，像在电子游戏俄罗斯方块中就是移动四格骨牌来进行游戏[3]。
四格骨牌[编辑]
自由四格骨牌[编辑]
多格骨牌是将正方形边和边相连组成的形状。自由骨牌（free polyomino）是指考虑全等关系的多格骨牌，若二个自由骨牌彼此全等，视为是同一种自由骨牌。因此二个自由骨牌若在平移、旋转、反射后相等，就算是同一种自由骨牌。
自由四格骨牌是由四个方形组成的自由骨牌，一共有五种。
单面四格骨牌[编辑]
单面四格骨牌（one-sided tetrominoes）允许平移及旋转，但不能反射（不能翻面，所以称为单面骨牌）。在游戏俄罗斯方块中出现的都是单面四格骨牌。单面四格骨牌共有七种，其中有三种有反射对称性，反射后的图案和原来相同，不会因为只考虑单面四格骨牌而使数量加倍，这些骨牌是：
I（也称为直线骨牌，Straight Polyomino"[4]）：四个方块以直线排列。
O（也称为方形骨牌，Square Polyomino[5]）：四个方块排成2×2的方形。
T（也称为T形骨牌，T-Polyomino[6])：三个方块排成一列，另一个方块在一列骨牌的中间下方。
剩下的四种骨牌有不对称性，四种骨牌分为二类，每类中的两种骨牌互为另一种的反射。
L型骨牌，L-Polyominos：[7]
J型：三个方块排成一列，另一个方块在一列骨牌的右侧下方。
L型：三个方块排成一列，另一个方块在一列骨牌的左侧下方。
斜骨牌，Skew Polyominos:[8]
S型：二个水平排列的骨牌，上面再放二个水平排列的骨牌，往右斜一格。
Z型：二个水平排列的骨牌，上面再放二个水平排列的骨牌，往左斜一格。
若是自由四格骨牌，J型骨牌等于L型骨牌，S型骨牌等于Z型骨牌，但若在二维空间内，不允许翻面，不可能将J型骨牌变成L型骨牌，或是让S型骨牌变成Z型骨牌。
固定四格骨牌[编辑]
固定四格骨牌（fixed tetramino）只允许平移，不允许旋转及反射。固定四格骨牌有二种I型、四种J型、四种L型、一种O型、二种S型、四种T型及二种Z型骨牌，共有19种固定四格骨牌。
用四格骨牌填满长方形[编辑]
虽然四格骨牌共有5种，加起来有20个方格，不过无法用5个四格骨牌填满一个长方形，此情形不同于五格骨牌，较类似六格骨牌，证明时要用到肢解国际象棋盘问题的概念：
20个方格的长方形，若将方格轮流标示深色及浅色，最后深色方格及浅色方格会各有10个，但一组的自由四格骨牌（共五种）会有11个某种颜色的方格，剩下另一个种颜色的方格有9个（T形骨牌会有一种颜色的方格有三个，另一种颜色有三个，其他骨牌的两种颜色的方格各有二个），因此无法填满。若考虑一组的单面四格骨牌（共七种）也无法完全的放在28个方格的长方形中。
此外，任何奇数组的自由四格骨牌或单面四格骨牌都无法组成长方形。但若二组自由四格骨牌可以填满4×10及5×8的长方形。
- 5×8长方形
- 4×10长方形
以类似方式，二组单面四格骨牌可以填满一个长方形，方法还不止一种。因此任何偶数组的自由四格骨牌或单面四格骨牌都无法填满长方形[9]。
以下是由二组自由四格骨牌，高度为1时所形成的四立方体，填满2×4×5及2×2×10的长方体。
- 2×4×5 长方体
第一層 : 第二層 Z Z T t I : l T T T i L Z Z t I : l l l t i L z z t I : o o z z i L L O O I : o o O O i
- 2×2×10 长方体
第一層 : 第二層 L L L z z Z Z T O O : o o z z Z Z T T T l L I I I I t t t O O : o o i i i i t l l l
四立方体[编辑]
五种四格骨牌都可以成为四立方体，只要将高度延伸一单位即可。J型和L型的四立方体是相同的，S型和Z型的四立方体也是相同的，因为只要翻面就可以由一种四立方体变成另一种。
此外，还有三种四立方体没有对应的四格骨牌，这些是由V型的三立方体上面再加一个立方体而得。
右旋型：单位立方体放在顺时针的一侧，在三维中有不对应性（下图中用D表示）。
左旋型：单位立方体放在逆时针的一侧，在三维中有不对应性（下图中用S表示）。
分支型：单位立方体放在弯曲点上，在三维中没有不对应性（下图中用B表示）。
因此有八个四立方体。
多立方体一般只允许平移及旋转，像右旋型及左旋型虽是镜射对称，但和平面的不同，无法用翻面的方式让右旋型变成左旋型。
用四立方体填满长方体[编辑]
在三维的情形，这八个四立方体可以填满4×4×2或8×2×2的长方体，以下的D、S、B及Z分别表示右旋型、左旋型、分支型及平面的Z型（S型）。
4×4×2 长方体
第一層 : 第二層 S T T T : S Z Z B S S T B : Z Z B B O O L D : L L L D O O D D : I I I I
8×2×2 长方体
第一層 : 第二層 D Z Z L O T T T : D L L L O B S S D D Z Z O B T S : I I I I O B B S
若立体不对应的D型及S型视为一样的，则七个四立方体可以填满7×2×2的长方体，其中的C表示D型或S型。
第一層 : 第二層 L L L Z Z B B : L C O O Z Z B C I I I I T B : C C O O T T T
参考资料[编辑]
- ^ Golomb, Solomon W. Polyominoes 2nd. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. 1994. ISBN 0-691-02444-8.
- ^ Redelmeier, D. Hugh. Counting polyominoes: yet another attack. Discrete Mathematics. 1981, 36: 191–203. doi:10.1016/0012-365X(81)90237-5.
- ^ "About Tetris" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Tetris.com. Retrieved 2014-04-19.
- ^ Weisstein, Eric W. "Straight Polyomino. （页面存档备份，存于互联网档案馆）" From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- ^ Weisstein, Eric W. "Polyomino.[永久失效链接]" From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- ^ Weisstein, Eric W. "T-Polyomino. （页面存档备份，存于互联网档案馆）" From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- ^ Weisstein, Eric W. "L-Polyomino. （页面存档备份，存于互联网档案馆）" From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- ^ Weisstein, Eric W. "Skew Polyomino. （页面存档备份，存于互联网档案馆）" From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
- ^ ttet11.pdf (PDF). [28 May 2015]. （原始内容存档 (PDF)于2016-02-20）.
相关条目[编辑]
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