四维矢量

在这篇文章内，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小则用 $r\,\!$ 来表示。四维矢量用加有标号的斜体显示。例如，${x}^{\mu }\,\!$或${x}_{\mu }\,\!$。为了避免歧意，四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如，$(x)^{2}\,\!$表示$x\,\!$平方；而${x}^{2}\,\!$是${x}^{\mu }\,\!$的第二个分量。

在相对论里，四维矢量（four-vector）是实值四维矢量空间里的矢量。这四维矢量空间称为闵可夫斯基时空。四维矢量的分量分别为在某个时间点与三维空间点的四个数量。在闵可夫斯基时空内的任何一点，都代表一个“事件”，可以用四维矢量表示。从任意惯性参考系观察某事件所获得的四维矢量，通过洛伦兹变换，可以变换为从其它惯性参考系观察该事件所获得的四维矢量。

本文章只思考在狭义相对论范围内的四维矢量，尽管四维矢量的概念延伸至广义相对论。在本文章内写出的一些结果，必须加以修改，才能在广义相对论范围内成立。

数学性质

在闵可夫斯基时空里，不同惯性参考系的坐标轴

在闵可夫斯基时空内的任何一点，都可以用四维矢量（一组标准基底的四个坐标） ${x}^{\mu }=({x}^{0},\,{x}^{1},\,{x}^{2},\,{x}^{3})$ 来表示；其中，上标 $\mu =0,\,1,\,2,\,3$ 标记时空的维数次序。称这四维矢量为“坐标四维矢量”，又称“四维坐标”，定义为

${x}^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (ct,\,x,\,y,\,z)$ ；

其中，$c$ 是光速，$t$ 是时间，$(x,\,y,\,z)$ 是位置的三维直角坐标。

为了确使每一个坐标的单位都是长度单位，定义 ${x}^{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ ct$ 。

“四维位移”定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里，四维位移可以用从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时，位移就是位置。四维位移 $\Delta {x}^{\mu }$ 表示为

$\Delta {x}^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\Delta ct,\ \Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ 。

带有上标的四维矢量 ${U}^{\mu }$ 称为反变矢量，其分量标记为

${U}^{\mu }=\ ({U}^{0},\,{U}^{1},\,{U}^{2},\,{U}^{3})$ 。

假若，标号是下标，则称四维矢量 ${U}_{\mu }$ 为协变矢量。其分量标记为

${U}_{\mu }=\ ({U}_{0},\,{U}_{1},\,{U}_{2},\,{U}_{3})=\ ({U}^{0},\,-{U}^{1},\,-{U}^{2},\,-{U}^{3})$ 。

在这里，闵可夫斯基度规 $\eta _{\mu \nu }$ 被设定为

$\eta _{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)$ 。

采用爱因斯坦求和约定，则四维矢量的协变坐标和反变坐标之间的关系为

$U_{\mu }=\eta _{\mu \nu }U^{\nu }$ 。

闵可夫斯基度规与它的“共轭度规张量” $\eta ^{\mu \nu }$ 相等：

$\eta ^{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)$ 。

洛伦兹变换

主条目：洛伦兹变换

给予两个惯性参考系 ${\mathcal {S}}$、 ${\bar {\mathcal {S}}}$ ；相对于参考系 ${\mathcal {S}}$，参考系 ${\bar {\mathcal {S}}}$ 以速度 $\mathbf {v} =v{\hat {\mathbf {x} }}$ 移动。对于这两个参考系，相关的“洛伦兹变换矩阵” $\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }$ 是

$\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)$；

其中，$\gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$ 是洛伦兹因子，$\beta ={\frac {v}{c}}$是“贝塔因子”。

对于这两个参考系 ${\mathcal {S}}$、 ${\bar {\mathcal {S}}}$ ，假设一个事件的四维坐标分别为 ${x}^{\mu }$、 ${\bar {x}}^{\mu }$ 。那么，这两个四维坐标之间的关系为

${\bar {x}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu }$ 、

$x^{\mu }={\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {x}}^{\nu }$ ；

其中，${\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }$ 是 $\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }$ 的反矩阵，

${\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)$ 。

将这两个四维坐标之间的关系式合并为一，则可得到

${\bar {x}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda }}^{\nu }{}_{\xi }\ {\bar {x}}^{\xi }$ 。

因此，可以找到洛伦兹变换矩阵的一个特性：

$\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda }}^{\nu }{}_{\xi }=\delta ^{\mu }{}_{\xi }$ ；

其中，$\delta ^{\mu }{}_{\xi }$ 是克罗内克函数。

另外一个很有用的特性为

${\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }=\eta _{\alpha \nu }\ \eta ^{\beta \mu }\ \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }$ ；

给定一个事件在某惯性参考系的四维坐标，通过洛伦兹变换，就可计算出这事件在另外一个惯性参考系的四维坐标。这是个很有用的物理性质。当研究物理现象时，所涉及的四维矢量，最好都能够具有这有用的性质。这样，可以使得数学分析更加精致犀利。以方程表示，对于两个参考系 ${\mathcal {S}}$、 ${\bar {\mathcal {S}}}$，具有这种有用性质的四维矢量 ${U}^{\mu }$ 、${\bar {U}}^{\mu }$ 满足

${\bar {U}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ U^{\nu }$ 、

$U^{\mu }={\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {U}}^{\nu }$ 。

在计算这四维矢量对于时间的导数时，若能选择固有时为时间变数，则求得的四维矢量仍旧具有这有用的性质。因为，固有时乃是个不变量；改变惯性参考系不会改变不变量。

假设一个物体运动于闵可夫斯基时空。在“实验室参考系”里，物体运动的速度随着时间改变。对于每瞬时刻，选择与物体同样运动的惯性参考系，称为“瞬间共动参考系”（momentarily comoving reference frame）。在这瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，这参考系也是物体的“瞬间静止参考系”。随着物体不断地改变运动速度与方向，新的惯性参考系也会不断地改换为瞬间共动参考系。随着这些不断改换的瞬间同行坐标系所测得的时间即为固有时，标记为 $\tau$ 。这就好像给物体挂戴一只手表，随着物体的运动，手表也会做同样的运动，而手表所纪录的时间就是固有时。

这物体的运动可以用一条世界线 $x(\tau )$ 来描述。由于时间膨胀，发生于物体的两个本地事件的微小固有时间隔 $\Delta \tau$ 与从别的惯性参考系 ${\mathcal {S}}$ 所观测到的微小时间间隔 $\Delta t$ 的关系为

$\Delta t=\gamma \Delta \tau$ 。

所以，固有时 $\tau$ 对于其它时间 $t$ 的导数为

${\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\gamma }}$ 。

闵可夫斯基内积

在闵可夫斯基空间里，两个四维矢量 $U^{\mu }$ 与 $V_{\mu }$ 的内积，称为闵可夫斯基内积，以方程表示为：

$U^{\mu }V_{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ U^{0}V^{0}-U^{1}V^{1}-U^{2}V^{2}-U^{3}V^{3}$ 。

由于这内积并不具正定性，即

$U^{\mu }U_{\mu }=(U^{0})^{2}-(U^{1})^{2}-(U^{2})^{2}-(U^{3})^{2}$

可能会是负数；而欧几里得内积一定不是负数。

许多学者喜欢使用相反正负号的 $\eta$：

$\eta _{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)$ 。

这样，$U^{\mu }$ 与 $V_{\mu }$ 的内积改变为

$U^{\mu }V_{\mu }=-U^{0}V^{0}+U^{1}V^{1}+U^{2}V^{2}+U^{3}V^{3}$ 。

其它相联的量值也会因而改变正负号，但这不会改变系统的物理性质。

从参考系 ${\mathcal {S}}$ 改换至另一参考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ ，$U^{\mu }$ 与 $V_{\mu }$ 的内积为

${U}^{\mu }{V}_{\mu }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }{V}^{\beta }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda }}^{\beta }{}_{\xi }\ {\overline {V}}^{\xi }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda }}^{\beta }{}_{\xi }\ \eta ^{\xi \zeta }\ {\overline {V}}_{\zeta }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ {\overline {\Lambda }}^{\zeta }{}_{\mu }\ {\overline {V}}_{\zeta }=\delta ^{\zeta }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ {\overline {V}}_{\zeta }={\overline {U}}^{\alpha }{\overline {V}}_{\alpha }$ 。

所以，在闵可夫斯基时空内，两个四维矢量的内积是个不变量：

$U^{\mu }V_{\mu }={\overline {U}}^{\mu }{\overline {V}}_{\mu }$ 。

四维矢量可以分类为类时，类空，或类光（零矢量）：

类时矢量：$U^{\mu }U_{\mu }>0$ ，

类空矢量：$U^{\mu }U_{\mu }<0$ ，

类光矢量：$U^{\mu }U_{\mu }=0$ 。

动力学实例

四维速度

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设想一个物体运动于闵可夫斯基时空，则其世界线的任意事件 $x^{\mu }(\tau )$ 的四维速度 $U^{\mu }$ 定义为

$U^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} t}}=\left(\gamma c,\ \gamma \mathbf {u} \right)$ ；

其中，$\mathbf {u} =\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}},\,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}},\,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)$ 是三维速度，或经典速度矢量。

$U^{\mu }$ 的空间部分与经典速度 $\mathbf {u}$ 的关系为

$\left(U^{1},\,U^{2},\,U^{3}\right)=\gamma \mathbf {u}$ 。

四维速度与自己的内积等于光速平方，是一个不变量：

$U^{\mu }U_{\mu }=c^{2}$ 。

在物体的瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，四维速度为

$\left(c,0,0,0\right)_{MCRF}$ ，

其方向与瞬间共动参考系的第零个基底矢量 ${\hat {\mathbf {e} }}_{0}=\left(1,0,0,0\right)_{MCRF}$ 同向；

其中，$MCRF$ 表示从瞬间共动参考系观察得到的数据。

四维加速度

主条目：四维加速度

四维加速度 $\alpha ^{\mu }$ 定义为

$\alpha ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} U^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=\left(\gamma {\dot {\gamma }}c,\,\gamma {\dot {\gamma }}\mathbf {u} +\gamma ^{2}{\dot {\mathbf {u} }}\right)$ 。

经过一番运算，可以得到洛伦兹因子对于时间的导数：

${\dot {\gamma }}={\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}=\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c^{2}$ ；

其中，$\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} }{\mathrm {d} t}}$ 是经典加速度。

所以，四维加速度 $\alpha ^{\mu }$ 可以表示为

$\alpha ^{\mu }=\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)$ 。

由于 $U_{\mu }U^{\mu }$ 是个常数，四维加速度与四维速度相互正交；也就是说，四维速度与四维加速度的闵可夫斯基内积等于零：

$\alpha _{\mu }U^{\mu }={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} (U_{\mu }U^{\mu })}{\mathrm {d} \tau }}=0$ 。

对于每一条世界线，这计算结果都成立。

注意到在瞬间共动参考系里， $U_{\mu }$ 只有时间分量不等于零，所以， $\alpha ^{\mu }$ 为的时间分量为零：

$\alpha ^{\mu }=\left(0,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)_{MCRF}$ 。

四维动量

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一个静止质量为 $m$ 的粒子的四维动量 $P^{\mu }$ 定义为

$P^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ mU^{\mu }=\left(\gamma mc,\,\gamma m\mathbf {u} \right)$ 。

经典动量 $\mathbf {p}$ 定义为

$\mathbf {p} \ {\stackrel {def}{=}}\ m_{rel}\mathbf {u} =\gamma m\mathbf {u}$ ；

其中，$m_{rel}$ 是相对论性质量。

所以，$P^{\mu }$ 的空间部分等于经典动量 $\mathbf {p}$ ：

$\left(P^{1},\,P^{2},\,P^{3}\right)=\mathbf {p}$。

四维力

主条目：四维力

作用于粒子的四维力定义为粒子的四维动量对于固有时的导数：

$F^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} P^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}$。

提出四维动量内的静止质量因子，即可发觉四维力就是静止质量乘以四维加速度：

$F^{\mu }=m{\frac {\mathrm {d} U^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=m\alpha ^{\mu }$ 。

因此，四维力可以表示为

$F^{\mu }=m\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)$ 。

经典力 $\mathbf {f}$ 定义为

$\mathbf {f} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ 。

所以，$F^{\mu }$的空间部分等于 $\gamma \mathbf {f}$ ：

$\left(F^{1},\,F^{2},\,F^{3}\right)=\gamma \mathbf {f}$ 。

物理内涵

在四维矢量的表述里，存在着许多能量与物质之间的关系。从这些特别关系，可以显示出这表述的功能与精致。

质能方程

假设，在微小时间间隔 $\mathrm {d} t$ ，一个运动于时空的粒子，感受到作用力 $\mathbf {f}$ 的施加，而这粒子的微小位移为 $\mathrm {d} \mathbf {x}$ 。那么，作用力 $\mathbf {f}$ 对于这粒子所做的微小机械功 $\mathrm {d} W$ 为

$\mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x}$ 。

因此，这粒子的动能的改变 $\mathrm {d} K$ 为

$\mathrm {d} K=\mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x}$ 。

粒子的动能 $K$ 对于时间的导数为

${\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$ 。

将前面经典力和经典速度的公式带入，可以得到

${\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=m\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )=mc^{2}{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}$ 。

这公式的反微分为

$K=\gamma mc^{2}+K_{0}$ 。

当粒子静止时，动能等于零。所以，

$K=\gamma mc^{2}-mc^{2}$ 。

这公式的右手边第二个项目就是静止能量 $E_{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ mc^{2}$ 。动能 $K$ 加上静止能量 $E_{0}$ 等于总能量 $E$ ：

$E=\gamma mc^{2}$ 。

再加简化，以相对论性质量 $m_{rel}$ 表示：

$E=m_{rel}c^{2}$ 。

这方程称为质能方程。

能量-动量关系式

使用质能方程 $E=m_{rel}c^{2}=\gamma mc^{2}$ ，四维动量可以表示为

$P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},\,\mathbf {p} \right)$ 。

四维动量与自己的内积为

$P^{\mu }P_{\mu }={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-(p)^{2}$ 。

改以四维速度来计算内积：

$P^{\mu }P_{\mu }=m^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m^{2}c^{2}$ 。

所以，能量-动量关系式为

$E^{2}=(pc)^{2}+m^{2}c^{4}$ 。

电磁学实例

四维电流密度

主条目：四维电流密度

在电磁学里，四维电流密度 $J^{\mu }$ 是一个四维矢量，定义为

$J^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\rho c,\,\mathbf {j} )$ ；

其中，$\rho$ 是电荷密度，$\mathbf {j}$ 是三维电流密度。

在瞬间共动参考系所观测到的电荷密度，称为固有电荷密度 $\rho _{0}=\rho /\gamma$ 。四维电流密度与四维速度的关系为

$J^{\mu }=\rho _{0}U^{\mu }$ 。

电荷守恒定律能以三维矢量表示为

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$ 。

这定律也能以四维电流密度表示为

${\frac {\partial J^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0$ 。

从这方程，可以推论四维电流密度的四维散度等于零。

电磁四维势

主条目：电磁四维势

电磁四维势是由电势 $\phi \,$ 与矢量势 $\mathbf {A}$ 共同形成的，定义为

$A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )$ 。

黎曼-索末菲方程表示电磁四维势与四维电流密度之间的关系：

$\Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }$ ;

其中，$\mu _{0}$ 是磁常数，$\Box =\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)$ 是达朗贝尔算符，又称为四维拉普拉斯算符。

四维频率和四维波矢量

一个平面电磁波的四维频率 ${\nu }^{\mu }$ 定义为

${\nu }^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (f,\,f\mathbf {n} )$ ；

其中，$f$ 是电磁波的频率，$\mathbf {n}$ 是朝着电磁波传播方向的单位矢量。

四维频率与自己的内积永远等于零：

${\nu }^{\alpha }{\nu }_{\alpha }=(f)^{2}(1-n^{2})=0$ 。

一个近单色光的波包的波动性质可以用四维波矢量 ${K}^{\alpha }$ 来描述：

${K}^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {2\pi f}{c}},\,\mathbf {k} \right)$ 。

其中，$\mathbf {k}$ 是三维波矢量。

四维波矢量与四维频率之间的关系为

${K}^{\alpha }={\frac {2\pi {\nu }^{\alpha }}{c}}$ 。

参阅

• 洛仑兹协变性

参考文献

• Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edition). Clarendon Press Oxford. 1991. ISBN 0-19-853952-5.