因式分解

一多项式 x² + cx + d 可因式分解成(x + a)(x + b)。其中：ab = d，a + b = c。

因式分解（英语：factorization，factorisation，或factoring），在数学中一般理解为把一个多项式分解为两个或多个的因式（因式亦为多项式）的过程。在这个过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。例如多项式$x^{2}-4$可被因式分解为$\left(x+2\right)\left(x-2\right)$。

因式分解定理

数域F上每个次数$\geq 1$的多项式$f(x)$都可以分解成数域F上一些不可约多项式的乘积，并且分解是唯一的，即如果有两个分解式

$f(x)=p_{1}(x)p_{2}(x)p_{3}(x)\cdots p_{s}(x)=q_{1}(x)q_{2}(x)\cdots q_{t}(x)$

其中$p_{i}(x)(i=1,2,\cdots ,s)$和$q_{j}(x)(j=1,2,\cdots ,t)$都是数域F上的不可约多项式，那么必有$s=t$，而且可以适当排列因式的次序，使得

$p_{i}(x)=c_{i}q_{i}(x)(i-1,2,\cdots ,s)$,其中$c_{i}(i=1,2,\cdots ,s)$是一些非零常数

分解方法

公因式分解(抽)

原则：

1、分解必须要彻底（即分解后之因式均不能再做分解）

2、结果最后只留下小括号

3、结果的多项式首项为正。 在一个公式内把其公因子抽出，例子：

• $7a+98ab$
  • 其中，$7a$是公因子。因此，因式分解后得到的答案是：$7a(1+14b)$
• $51a^{4}b^{7}+24a^{3}b^{2}+75a^{5}b^{5}$
  • 其中，$3a^{3}b^{2}$是公因子。因此，因式分解后得到的答案是：$3a^{3}b^{2}(17ab^{5}+8+25a^{2}b^{3})$

公式重组(拼)

透过公式重组，然后再抽出公因数，例子：

• $3a^{2}b-5y+12a^{3}b^{2}-20aby$

$=(3a^{2}b+12a^{3}b^{2})-(5y+20aby)$

$=3a^{2}b(1+4ab)-5y(1+4ab)$

$=(1+4ab)(3a^{2}b-5y)$

• $15n^{2}+2m-3n-10mn$

$=(15n^{2}-3n)+(2m-10mn)$

$=3n(5n-1)+2m(1-5n)$

$=3n(5n-1)-2m(5n-1)$

$=(5n-1)(3n-2m)$

十字交乘法

主条目：十字交乘法

十字交乘法(cross method)，也叫做十字相乘法。它实际上是拆项法的一个变形，只不过用十字形矩阵来表示。

两个n次方数之和与差

两个立方数之和

$a^{3}+b^{3}\,\!$可分解为$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!$

两个立方数之差

$a^{3}-b^{3}\,\!$可分解为$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!$

两个n次方数之差

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+......+b^{n-1})$

两个奇数次方数之和

$a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+......+b^{n-1})$ 。

一次因式检验法

一个整系数的一元多项式$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}$，假如它有整系数因式$px+q$，且p,q互质，则以下两条必成立：（逆叙述并不真）

• $p|a_{n}$
• $q|a_{0}$

不过反过来说，即使当$p|a_{n}$和$q|a_{0}$都成立时，整系数多项式$px+q$也不一定是整系数多项式$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}$的因式

另外一个看法是：

一个整系数的ｎ次多项式$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+......a_{1}x+a_{0}$，若$px-q$是f(x)之因式，且p,q互质，则：（逆叙述并不真）

• $p-q|f(1)$
• $p+q|f(-1)$

相关条目

• 因数分解
• 多项式
• 根
• 十字相乘
• 乘法公式