布丰投针问题

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Buffon needle.gif

18世纪,布丰提出以下问题:设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板(如右图),现在随意抛一支长度比木纹之间距离小的,求针和其中一条木纹相交的概率。这就是布丰投针问题(又译“蒲丰投针问题”)。

使用积分几何能找到此题的解,并得出一个求π蒙特·卡罗方法

解法[编辑]

设针的长度是,平行线之间的距离为为针的中心和最近的平行线的距离,为针和线之间的锐角

均匀分布,其几率密度函数

且均匀分布,其几率密度函数为

两个随机变数互相独立,因此两者结合的几率密度函数只是两者的

,针和线相交,然后对积分得出所求几率。

要求上式的积分需要分为两种情况:“短针”以及“长针”;以下考虑“短针”情况,计算上式积分得针与线相交的几率:

作简单变换可得,

当抛支针,其中有支针与线相交,利用多次重复试验所观察事件发生的频率越来越接近几率的理论值

近似可得

Lazzarini的估计[编辑]

1901年意大利数学家Mario Lazzarini尝试进行此实验。他抛了3408次针,得到π的近似值为355/113。

Lazzarini选取了一支长度是纹的距离的5/6的针。在这个情况,针和纹相交的机会是5/(3π)。如果想抛n次针而得到x次相交,π约等于。分母、分子少于五位数字,没有比355/113更好的π的近似值了。因此,可以列式,得

为求x的值接近这个数,可以重复抛213次针,若有113次是成功的,便可终止实验,宣布这个方法求π值准确度不低;否则,就再抛213次针,希望共有226次成功……这次反复进行实验。Lazzarini做了次。