平面刚体运动

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平面刚体运动是一种在平面上进行的几何变换.反射变换和旋转变换等几何变换都有一个共同特点,即所谓“保距性”.也就是说,对于平面内任意两点P、Q,在反射(或某种几何变换)下对应的点是P'和Q',那么P'到Q'的距离,就等于PQ的距离.借用物理学上的刚体一词,我们把这种变换叫做:平面刚体运动.

定义[编辑]

设α是一个平面,映射

m:平面α→平面α

是一个一一映射,若m保持平面α内任意两点间的距离不变,则称m是一个平面刚体运动.[1]

解释[编辑]

下面我们对上述定义做一个简单解释.任意一个平面刚体运动m:平面α→平面α都满足以下4条:

  1. 对于平面α内的任意一点P,在平面α内存在唯一的一点P'与之对应,记作P'=m(P),P'叫做P在m作用下的
  2. 任取平面α内的一点P',存在平面α内的唯一一点P,使得P'是P在变换m作用下的象;
  3. 任取平面α内的两点P1、P2,如果P1≠P2,那么它们的象也是不同的,即:m(P1)≠m(P2);
  4. 任取平面α内的两点P、Q,它们在m下的象是P'和Q',即:P'=m(P),Q'=m(Q),那么|P'Q'|=|PQ|,即点P',Q'之间的距离与点P,Q之间的距离相等.

平移旋转反射是三种最常见的平面刚体运动.[2]

性质[编辑]

保持距离不变是m的一个很强的性质。通过这一性质我们可以证明:只要知道不共线的三点A,B,C在m下的象A',B',C',m就完全确定下来了

命题1[编辑]

平面刚体运动

m:平面α→平面α

将平面α内的直线映射成直线,射线映射成射线,线段映射成等长的线段。

证明:令l是平面α内的任意一条直线,设m把l上所有的点映到点集l'.在l上任取两点A,B,设m把它们分别映射到A',B'.下面证明l'是过A',B'的直线.在AB上任取一点C,设m把点C映射到点C'.

  1. 当点C在AB之间时,由平面刚体运动的定义得:|A'C'|+|CB|=|AC|+|CB|=|AB|=|A'B'|,所以点C'在线段A'B'上.
  2. 当点C在AB的延长线上时,我们有:|A'B'|+|B'C'|=|AB|+|BC|=|AC|=|A'C'|,所以B'在线段A'C'上,即点C'在线段A'B'的延长线上.
  3. 同理可证,当点C在BA的延长线上时,点C'在线段B'A'的延长线上.

综上所述,由点A,B,C的任意性可知,l'是一条直线

证毕.[3]

命题2[编辑]

三角形在平面刚体运动的作用下,形状和大小都保持不变.

证明:设△ABC是平面α内的任意一个三角形,由已证明题可知,平面刚体运动

m:平面α→平面α

把线段AB,BC,AC依次映射成线段A'B',B'C',A'C',而且AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'.

由于AB+BC>AC,故A'B'+B'C'>A'C',所以AB,BC,CA,构成了一个以A,B,C为顶点的三角形,而且△ABC与△ABC全等.

证毕.

用类似的方法可证得:在平面刚体运动m的作用下,正n边形的大小和形状都保持不变.

特殊[编辑]

m:平面α→平面α

是一个平面刚体运动,若在平面α内至少存在一个点O,点O在m的作用下保持不动,即m(O)=O,我们称m为有不动点的平面刚体运动.可以证明:只有反射变换和旋转变换是有不动点的平面刚体变换.[4]

参考资料[编辑]

  1. ^ 张英伯; 宋莉莉. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 6. ISBN 978-7-107-18021-7. 
  2. ^ 张英伯; 宋莉莉. 平面刚体的对称群. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 7. ISBN 978-7-107-18021-7. 
  3. ^ 张英伯; 宋莉莉. 平面刚体的对称群. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 8. ISBN 978-7-107-18021-7. 
  4. ^ 张英伯; 宋莉莉. 附录二. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 49. ISBN 978-7-107-18021-7.