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方差

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方差Variance),应用数学里的专有名词。在概率论统计学中,一个随机变量方差描述的是它的离散程度,也就是该变量离其期望值的距离。一个实随机变量的方差也称为它的二阶矩或二阶中心动差,恰巧也是它的二阶累积量。这里把复杂说白了,就是将各个误差将之平方(而非取绝对值,使之肯定为正数),相加之后再除以总数,透过这样的方式来算出各个数据分布、零散(相对中心点)的程度。继续延伸的话,方差的算术平方根称为该随机变量的标准差(此为相对各个数据点间)。

定义[编辑]

设X为服从分布F的随机变量, 如果E[X]是随机变数X期望值(平均数μ=E[X]
随机变量X或者分布F的方差为:

这个定义涵盖了连续、离散、或两者都有的随机变数。方差亦可当作是随机变数与自己本身的协方差(或协方差):

方差典型的标记有Var(X), , 或是,其表示式可展开成为:

上述的表示式可记为"平方的期望减掉期望的平方"。

连续随机变数[编辑]

如果随机变数X是连续分布,并对应至概率密度函数f(x),则其方差为:

此处是一期望值,

且此处的积分为以X为范围的x定积分(definite integral)
如果一个连续分布不存在期望值,如柯西分布(Cauchy distribution),也就不会有方差(不予定义)。

离散随机变数[编辑]

如果随机变数X是具有概率质量函数的离散概率分布x1 ↦ p1, ..., xn ↦ pn,则:

此处是其期望值, i.e.

.

X为有N个相等概率值的平均分布:


N个相等概率值的方差亦可以点对点间的方变量表示为:

特性[编辑]

方差不会是负的,因为次方计算为正的或为零:

一个常数随机变数的方差为零,且当一个资料集的方差为零时,其内所有项目皆为相同数值:

方差不变于定位参数的变动。也就是说,如果一个常数被加至一个数列中的所有变数值,此数列的方差不会改变:

如果所有数值被放大一个常数倍,方差会放大此常数的平方倍:

两个随机变数合的方差为:

此数Cov(., .)代表协方差

对于个随机变数的总和:

在样本空间Ω上存在有限期望和方差的随机变量构成一个希尔伯特空间: L2(Ω, dP),不过这里的内积和长度跟协方差,标准差还是不大一样。 所以,我们得把这个空间“除”常变量构成的子空间,也就是说把相差一个常数的 所有原来那个空间的随机变量做成一个等价类。这还是一个新的无穷维线性空间, 并且有一个从旧空间内积诱导出来的新内积,而这个内积就是协方差。

一般化[编辑]

如果X是一个向量其取值范围在实数空间Rn,并且其每个元素都是一个一维随机变量,我们就把X称为随机向量。随机向量的方差是一维随机变量方差的自然推广,其定义为E[(X − μ)(X − μ)T],其中μ = E(X),XTX的转置。这个方差是一个非负定方阵,通常称为协方差矩阵

如果X是一个复数随机变量的向量(向量中每个元素均为复数的随机变数),那么其方差定义则为E[(X − μ)(X − μ)*],其中X*X共轭转置向量或称为埃尔米特向量。根据这个定义,变异数为实数。

历史[编辑]

方差”(variance)这个名词率先由罗纳德·费雪英语:Ronald Fisher)在论文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance[1]中提出。

参考文献[编辑]

参见[编辑]