极限 (数列)

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极限,即为一个数列,使得,其中为一确定的常数,亦即数列随着的增加而趋近于

定义[编辑]

设一数列,若对于任意的正实数,存在自然数,使得对所有,有

用符号来表示即
则称数列收敛,记作

收敛数列[编辑]

其中一个判断数列是否收敛的定理,称为单调收敛定理,和实数完备性相关:单调有界数列必收敛,即是说,有上界的单调递增数列,或是有下界的单调递减数列,必然收敛。

数列极限的性质[编辑]

定理1(唯一性)[编辑]

若数列的极限存在,则极限是唯一的。[1]:29

证明

设数列有两个不相等的极限值,则对任意的,存在,使得 时,恒有 ,则接下来考虑 :

因此,故极限唯一。[1]:29

定理2(有界性)[编辑]

若数列有极限,则有界,即

[1]:29-30

证明

因为 ,所以对于,使得

从而有

于是

有界。

注意有界数列不一定有极限,如数列 是一个有界数列,但没有极限。

但是当数列有界,存在一个递增或是递减的子数列的话,则可以证明,数列存在极限。

我们也可以根据定理二来作推论,如果一个数列无界,则知道这个数列一定发散。[1]:30

定理3(保序性)[编辑]

,则:30

[1]

证明:

已知

。取

由极限定义知:,有

从而

,有

从而
所以当时,有
[1]:30-31

数列的四则运算[编辑]

,则

  1. ,则.

柯西数列[编辑]

参考文献列表[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5. 

参看[编辑]