极限 (数列)

极限，即为一个数列$\{a_{n}\}$，使得$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$，其中$L$为一确定的常数，亦即数列$\{a_{n}\}$随着$n$的增加而趋近于$L$。

定义

设一数列$\{x_{n}\},\ x_{n}\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {N} ,\ L\in \mathbb {R}$，若对于任意的正实数$\epsilon$，存在自然数$N$，使得对所有$n>N$，有

$$\left|x_{n}-L\right|<\epsilon$$

用符号来表示即

$$\forall \epsilon >0,\ \exists N\in \mathbb {N} ,\ \forall n>N,\ |x_{n}-L|<\epsilon$$

则称数列$\{x_{n}\}$收敛于$L$，记作

$$\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$$

收敛数列

其中一个判断数列是否收敛的定理，称为单调收敛定理，和实数完备性相关：单调有界数列必收敛，即是说，有上界的单调递增数列，或是有下界的单调递减数列，必然收敛。

数列极限的性质

定理1（唯一性）

若数列$\left\{{x_{n}}\right\}$的极限存在，则极限是唯一的。

证明

设数列$\{x_{n}\}$有两个不相等的极限值$a,\ b$,则对任意的$\epsilon >0$,存在$N\in \mathbb {N}$，使得 $m,n>N$ 时，恒有 $|x_{n}-a|<{\frac {\epsilon }{2}},\quad |x_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}$ ，则接下来考虑 :

$$|a-b|=|(a-x_{n})-(b-x_{n})|\leq |a-x_{n}|+|b-x_{n}|<\epsilon$$

因此$a=b$，故极限唯一。

定理2（有界性）

若数列$\{x_{n}\}$有极限，则$\{x_{n}\}$有界，即 $\exists M>0,\forall n\in \mathbb {N} ,|x_{n}|\leq M$ 。

证明

因为 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$，所以对于$\varepsilon =1$，$\exists N\in \mathbb {N}$，使得 $\forall n>N,|x_{n}-L|<\varepsilon =1$

从而有 $|x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|$

令 $M=\max(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{N}|,\ 1+|L|)$

于是 $\forall n\in \mathbb {N} ,|x_{n}|\leq M$

即$\{x_{n}\}$有界。

注意有界数列不一定有极限，如数列 $1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots$ 是一个有界数列，但没有极限。

但是当数列有界，存在一个递增或是递减的子数列的话，则可以证明，数列存在极限。

我们也可以根据定理二来作推论，如果一个数列无界，则知道这个数列一定发散。

定理3（保序性）

若$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$

且$a>b$，则 $\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,x_{n}>y_{n}$

证明：

已知

$$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$$

$$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$$

且$a>b$。取

$$\varepsilon ={\frac {a-b}{2}}>0$$

由极限定义知：$\exists N_{1}\in \mathbb {N} ,\forall n>N_{1}$，有

$$|x_{n}-a|<{\frac {a-b}{2}}$$

从而

$$x_{n}>a-{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$$

$\exists N_{2}\in \mathbb {N} ,\forall n>N_{2}$，有

$$|y_{n}-b|<{\frac {a-b}{2}}$$

从而

$$y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$$

所以当$n>N=\max(N_{1},\ N_{2})$时，有

$$y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}$$

即

$$x_{n}>y_{n}$$

数列的四则运算

设$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$，$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$，则

1. $\lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\pm \lim _{n\to \infty }{y_{n}}$；
2. $\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot \lim _{n\to \infty }{y_{n}}$；
3. 若$b\neq 0,{y_{n}}\neq 0$,则$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }{x_{n}}}{\lim _{n\to \infty }{y_{n}}}}$.

参看

• 级数
• 函数极限