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欧拉角

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莱昂哈德·欧拉

莱昂哈德·欧拉欧拉角来描述刚体三维欧几里得空间取向。对于任何参考系,一个刚体的取向,是依照顺序,从这参考系,做三个欧拉角的旋转而设定的。所以,刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说,任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。

静态的定义[编辑]

三个欧拉角: ()。蓝色的轴是xyz-轴,红色的轴是XYZ-坐标轴。绿色的线是交点线 (N)。
欧拉角动画

对于在三维空间里的一个参考系,任何坐标系的取向,都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系,是静止不动的。而坐标系则固定于刚体,随着刚体的旋转而旋转。

参阅右图。设定xyz-轴为参考系的参考轴。称xy-平面与XY-平面的相交为交点线,用英文字母(N)代表。zxz顺规的欧拉角可以静态地这样定义:

  • 是x-轴与交点线的夹角,
  • 是z-轴与Z-轴的夹角,
  • 是交点线与X-轴的夹角。

很可惜地,对于夹角的顺序和标记,夹角的两个轴的指定,并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时,我们必须明确的表示出夹角的顺序,指定其参考轴。

实际上,有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。欧拉角方法只是其中的一种。此外,不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述,或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此,使用欧拉角前,必须先做好明确的定义。

角值范围[编辑]

  • 值分别从0至 弧度
  • 值从0至弧度。

对应于每一个取向,设定的一组欧拉角都是独特唯一的;除了某些例外:

  • 两组欧拉角的,一个是0,一个是,而分别相等,则此两组欧拉角都描述同样的取向。
  • 两组欧拉角的,一个是0,一个是,而分别相等,则此两组欧拉角都描述同样的取向。

旋转矩阵[编辑]

前面提到,设定刚体取向的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵合成的:

从左到右依次代表绕着z轴的旋转、绕着交点线的旋转、绕着Z轴的旋转。

经过一番运算,

逆矩阵是:

别种顺序[编辑]

经典力学里,时常用zxz顺规来设定欧拉角;照着第二个转动轴的轴名,简称为x顺规。另外,还有别种欧拉角组。合法的欧拉角组中,唯一的限制是,任何两个连续的旋转,必须绕着不同的转动轴旋转。因此,一共有12种顺规。例如,y顺规,第二个转动轴是y-轴,时常用在量子力学核子物理学粒子物理学。另外,还有一种顺规,xyz顺规,是用在航空航天工程学;参阅泰特-布莱恩角英语Tait-Bryan angles

动态的定义[编辑]

我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕着固定于刚体的坐标轴的三个旋转的复合;另外一种是绕着实验室参考轴的三个旋转的复合。用动态的定义,我们能更了解,欧拉角在物理上的含义与应用。特别注意,以下的描述, XYZ坐标轴是旋转的刚体坐标轴;而xyz坐标轴是静止不动的实验室参考轴。

  • A)绕着XYZ坐标轴旋转:最初,两个坐标系统xyz与XYZ的坐标轴都是重叠著的。开始先绕着Z-轴旋转角值。然后,绕着X-轴旋转角值。最后,绕着Z-轴作角值的旋转。
  • B)绕着xyz坐标轴旋转:最初,两个坐标系统xyz与XYZ的坐标轴都是重叠著的。开始先绕着z-轴旋转角值。然后,绕着x-轴旋转角值。最后,绕着z-轴作角值的旋转。

参阅欧拉角图,定义A与静态定义的相等,这可以直接用几何制图方法来核对。

定义A与定义B的相等可以用旋转矩阵来证明:

思考任何一点,在xyz与XYZ坐标系统的坐标分别为。定义角算符为绕着Z-轴旋转角值。那么,定义A可以表述如下:

用旋转矩阵表示,

思考任何一点,在xyz与XYZ坐标系统的坐标分别为。定义角算符为绕着z-轴旋转角值。则定义B可以表述如下:

用旋转矩阵表示,

假设, .那么,

乘以逆算符,

但是,从旋转矩阵可以观察出,

所以,

定义A与定义B是相等的。

欧拉角性质[编辑]

欧拉角在SO(3)上,形成了一个坐标卡 (chart);SO(3)是在三维空间里的旋转的特殊正交群。这坐标卡是平滑的,除了一个极坐标式的奇点 。

类似的三个角的分解也可以应用到SU(2);复数二维空间里旋转的特殊酉群;这里,值在 0 与之间。这些角也称为欧拉角。

应用[编辑]

欧拉角广泛地被应用于经典力学中的刚体研究,与量子力学中的角动量研究。

在刚体的问题上, xyz坐标系是全域坐标系,XYZ坐标系是局域坐标系。全域坐标系是不动的;而局域坐标系牢嵌于刚体内。关于动能的演算,通常用局域坐标系比较简易;因为,惯性张量不随时间而改变。如果将惯性张量(有九个分量,其中六个是独立的)对角线化,那么,会得到一组主轴,以及一个转动惯量(只有三个分量)。

量子力学里,详尽的描述SO(3)的形式,对于精准的演算,是非常重要的,并且几乎所有研究都采用欧拉角为工具。在早期的量子力学研究,对于抽象群理论方法(称为Gruppenpest),物理学家与化学家仍旧持有极尖锐的反对态度的时候;对欧拉角的信赖,在基本理论研究来说,是必要的。

欧拉角的哈尔测度有一个简单的形式通常在前面添上归一化因子。例如,我们要生成均匀随机取向,使分别均匀的选随机值;使均匀的选随机值。

单位四元数,又称欧拉参数,提供另外一种方法来表述三维旋转。这与特殊酉群的描述是等价的。四元数方法用在大多数的演算会比较快捷,概念上比较容易理解,并能避免一些技术上的问题,如万向锁现象。因为这些原因,许多高速度三维图形程式制作都使用四元数。

参阅[编辑]

参考文献[编辑]

  • L. C. Biedenharn, J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1981.
  • Herbert Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1980.
  • Andrew Gray, A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion, MacMillan, London, 1918.
  • M. E. Rose, Elementary Theory of Angular Momentum, John Wiley, New York, NY, 1957.
  • Symon, Keith. Mechanics. Addison-Wesley, Reading, MA. 1971. ISBN 978-0-201-07392-8. 
  • Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. Mechanics. Butterworth-Heinemann. 1997. ISBN 0-750-62896-0. 

外部链接[编辑]