正定矩阵

在线性代数里，正定矩阵（英语：positive-definite matrix）是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

定义

一个 $n\times n$ 的实对称矩阵 $M$ 是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量 $\mathbf {z}$，都有 $\mathbf {z} ^{T}M\mathbf {z} >0$。其中 $\mathbf {z} ^{T}$表示 $\mathbf {z}$ 的转置。对于复数的情况，定义则为：一个 $n\times n$ 的埃尔米特矩阵 $M$ 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 $\mathbf {z}$，都有 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0$。其中 $\mathbf {z} ^{*}$表示 $\mathbf {z}$ 的共轭转置。

这样的定义仰赖一个事实：对于任意的埃尔米特矩阵 $M$ 及复向量 $\mathbf {z}$ ，$\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$ 必定是实数。

首先，因为 $M$ 是埃尔米特矩阵，所以我们有 $M^{*}=M$。接下来我们计算所求的共轭转置：$(\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} )^{*}=\mathbf {z} ^{*}M^{*}(\mathbf {z} ^{*})^{*}=\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$。因为 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$ 是标量且其共轭复数等于自身，所以根据复数的性质，我们得出 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$ 是实数。

正定矩阵

对于 $n\times n$ 的埃尔米特矩阵 $M$，下列性质与“$M$ 为正定矩阵”等价：

1. $M$ 的所有的特征值 $\lambda _{i}$ 都是正的。
   根据谱定理，$M$ 与一个实对角矩阵 $D$ 相似（也就是说 $M=U^{-1}DU$，其中 $U$ 是酉矩阵，或者说 $M$ 在某个正交基可以表示为一个实对角矩阵）。因此，$M$是正定阵当且仅当相应的 $D$ 的对角线上元素都是正的。 另外，也可以假设 $\lambda _{i}$ 和 $\mathbf {v} _{i}$ 是 $M$ 的一组特征值与特征向量，根据定义 $M\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}$，从左侧同乘以 $\mathbf {v} _{i}^{*}$ 得到：$\mathbf {v} _{i}^{*}M\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}^{*}\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}$。因为 $M$ 是正定矩阵，根据定义我们有 $\mathbf {v} _{i}^{*}M\mathbf {v} >0$。移项整理后可以得到 $\lambda _{i}={\frac {\mathbf {v} ^{*}M\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}}>0$。注意因为特征向量 $\mathbf {v} _{i}\neq \mathbf {0}$，所以前述 $\lambda _{i}$ 不会有无解的情形。
2. 半双线性形式 $\langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}$ 定义了一个 $\mathbb {C} ^{n}$上的内积。实际上，所有 $\mathbb {C} ^{n}$上的内积都可视为由某个正定矩阵通过此种方式得到。
3. $M$ 是向量 ${\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}$ 构成的格拉姆矩阵，其中 $k\in \mathbb {Z} ^{+}$。更精确地说，$M=[m_{ij}]$ 定义为：$m_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}$。换句话说，$M$ 具有 $A^{*}A$ 的形式，其中 $A$ 不一定是方阵，但必须是单射的。
4. $M$ 的所有顺序主子式，也就是顺序主子阵的行列式都是正的（西尔维斯特准则）。明确地说，就是考察 $M$ 左上角大小 $1\times 1,\ldots ,n\times n$ 的子矩阵的行列式。对于半正定矩阵而言，相应的条件应改为所有的主子式非负。但顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：
   $${\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}}$$
5. 存在唯一的下三角矩阵 $L$，其主对角线上的元素全是正的，使得 $M=LL^{*}$。其中 $L^{*}$是 $L$ 的共轭转置。这一分解被称为科列斯基分解。

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的 $\mathbb {C} ^{n}$改为 $\mathbb {R} ^{n}$，并将“共轭转置”改为“转置”即可。

二次型

由以上的第二个等价条件，可以得到二次型形式下正定矩阵的等价条件：用 $\mathbb {K}$ 代表 $\mathbb {C}$ 或 $\mathbb {R}$，设 $\mathbb {V}$ 是 $\mathbb {K}$ 上的一个向量空间。一个埃尔米特型：

$B:V\times V\rightarrow K$

是一个双线性映射，使得 $B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ 总是 $B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )$ 的共轭。这样的一个映射 $B$ 是正定的当且仅当对于 $\mathbb {V}$ 中所有的非零向量 $\mathbf {x}$，都有 $B(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )>0$。

负定、半定及不定矩阵

与正定矩阵对应，一个 $n\times n$ 的埃尔米特矩阵 $M$ 是负定矩阵（英语：negative-definite matrix）当且仅当对所有非零向量 $\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}$（或 $\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}$），都有 $z^{*}Mz<0\,$。

$M$是半正定矩阵（英语：positive semi-definite matrix）当且仅当对于所有非零向量 $\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}$（或 $\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}$），都有 $z^{*}Mz\geq 0$。

$M$是半负定矩阵（英语：negative semi-definite matrix）当且仅当对于所有非零向量 $\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n}$（或 $\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}$），都有 $z^{*}Mz\leq 0$。

如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵（英语：indefinite matrix）。

可以看出，上一节中正定矩阵的第一个等价性质只需作出相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当 $M$ 是半正定时，相应的格拉姆矩阵不必由线性独立的向量组成。对于任意矩阵 $A$，$A^{*}A$必是半正定的，并有 $\mathrm {rank} (A)=\mathrm {rank} (A^{*}A)$（两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作 $M=A^{*}A$，这就是科列斯基分解。

对于任意矩阵 $A$，因为 $(A^{*}A)^{*}=A^{*}(A^{*})^{*}=A^{*}A$ ，因此 $A^{*}A$ 是埃尔米特矩阵。令 $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$，则 $\mathbf {v} ^{*}(A^{*}A)\mathbf {v} =(\mathbf {v} ^{*}A^{*})(A\mathbf {v} )=(A\mathbf {v} )^{*}(A\mathbf {v} )=\Vert A\mathbf {v} \Vert ^{2}\geq 0$，因此 $A^{*}A$ 是半正定的。另外，我们很容易证明 $A$ 与 $A^{*}A$ 有相同的零空间，根据秩 – 零化度定理，我们可以得到它们有相同的秩。

一个埃尔米特矩阵 $M$ 是负定矩阵当且仅当 $M$ 的所有奇数阶顺序主子式小于 $0$，所有偶数阶顺序主子式大于 $0$。当 $M$ 是负定矩阵时，$M$ 的逆矩阵也是负定的。

相关性质

若 $M$ 为半正定矩阵，可以记作 $M\geq 0$。如果$M$是正定矩阵，可以记作 $M>0$。这个记法来自泛函分析，其中的正定矩阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵，$M$、$N$，$M\geq N$ 当且仅当 $M-N\geq 0$。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义$M>N$。

1.	每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果 $M\geq N>0$ 那么 $N^{-1}\geq M^{-1}>0$。
2.	如果 $M$ 是正定阵，$r>0$ 为正实数，那么 $rM$ 也是正定阵。 如果 $M$、$N$ 是正定阵，那么 $M+N$、$MNM$ 与 $NMN$ 都是正定的。如果 $MN=NM$，那么 $MN$ 仍是正定阵。
3.	如果 $M=(m_{ij})>0$ 那么主对角线上的元素 $m_{ii}$ 为正实数。于是有 ${\text{tr}}(M)>0$。此外还有 $|m_{ij}|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\leq {\frac {m_{ii}+m_{jj}}{2}}$ 。
4.	矩阵 $M$ 是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵 $B>0$ 使得 $B^{2}=M$。根据其唯一性可以记作 $B=M^{1/2}$，称 $B$ 为 $M$ 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果 $M>N>0$ 那么 $M^{1/2}>N^{1/2}>0$ 。
5.	如果 $M,N>0$ 那么 $M\otimes N>0$，其中 $\otimes$ 表示克罗内克积。
6.	对矩阵 $M=(m_{ij}),\ N=(n_{ij})$，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为 $M\circ N$，即 $(M\circ N)_{i,j}=m_{ij}n_{ij}$，称为$M$与$N$的 阿达马乘积。如果 $M,N>0$，那么 $M\circ N>0$。如果 $M,N$ 为实系数矩阵，则以下不等式成立： $\det(M\circ N)\geq (\det N)\prod _{i}m_{ii}$ 。
7.	设 $M>0$，$N$ 为埃尔米特矩阵。如果 $MN+NM\geq 0$（相应地，$MN+NM>0$），那么 $N\geq 0$（相应地，$N>0$）。
8.	如果 $M,N\geq 0$ 为实系数矩阵，则 ${\text{tr}}(MN)\geq 0$。
9.	如果 $M>0$ 为实系数矩阵，那么存在 $\delta >0$ 使得 $M\geq \delta I$，其中 $I$ 为单位矩阵。

非埃尔米特矩阵的情况

一个实矩阵 $M$ 可能满足对于所有的非零实向量 $\mathbf {x}$，$\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0$，却不是对称矩阵。举例来说，矩阵

${\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}$就满足这个条件。对于 $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}$ 并且 $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$，${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>0$。

一般来说，一个实系数矩阵 $M$ 满足对所有非零实向量 $\mathbf {x}$，$\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {x} >0$，当且仅当对称矩阵 $(M+M^{T})/2$ 是正定矩阵。

对于复系数矩阵，情况可能会不太一样。主要考虑如何扩展 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0$ 这一性质。要使得 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$ 总为实数，矩阵 $M$ 必须是埃尔米特矩阵。因此，若 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$ 总是正实数，$M$ 必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0$ 扩展为 $\Re (\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} )>0$，则等价于 $(M+M^{*})/2$ 为正定矩阵。

参见

• 确定双线性形式
• 矩阵的平方根
• 舒尔补
• 正定核
• 正定函数
• 科列斯基分解
• 线性矩阵不等式
• 合同矩阵

参考资料

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
• Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.

外部链接

• 正定矩阵
• 关于对称矩阵的一些讨论