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笛卡儿坐标系

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在这篇文章内,向量标量分别用粗体斜体显示。例如,位置向量通常用 表示;而其大小则用 来表示。
图1 - 红色的圆圈,半径是2,圆心位于直角坐标系的原点。此圆的方程为

数学里,笛卡儿坐标系英语:Cartesian coordinate system),也称直角坐标系,是一种正交坐标系。参阅图1,二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0点重合的数轴构成的。在平面内,任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的。在平面内,任何一点与坐标的对应关系,类似于数轴上点与坐标的对应关系。

采用直角坐标,几何形状可以用代数公式明确的表达出来。几何形状的每一个点的直角坐标必须遵守这代数公式。例如:直线可以标准式、斜截式等式子来表示;一个,半径为r,圆心位于(a,b)。圆圈可以用以表示。

历史[编辑]

笛卡尔坐标系是由法国数学家勒内·笛卡尔创建的。1637年,笛卡尔发表了巨作《方法论》。这本专门研究与讨论西方治学方法的书,提供了许多正确的见解与良好的建议,对于后来的西方学术发展,有很大的贡献。为了显示新方法的优点与果效,以及对他个人在科学研究方面的帮助,在《方法论》的附录中,他增添了另外一本书《几何》。有关笛卡儿坐标系的研究,就是出现于《几何》这本书内。笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数欧几里得几何,对于后来解析几何微积分、与地图学的建树,具有关键的开导力。

二维坐标系统[编辑]

图2 - 直角坐标系。图中四点的坐标分别为,绿点:,红点:,蓝点:,紫点:
图3 - 直角坐标系的四个象限,按照逆时针方向,从象限到象限。坐标轴的头部象征着,往所指的方向,无限的延伸。

参阅图2,二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定,通常分别称为x-轴和 y-轴;两个坐标轴的相交点,称为原点,通常标记为O,既有“零”的意思,又是英语“Origin”的首字母。每一个轴都指向一个特定的方向。这两个不同线的坐标轴,决定了一个平面,称为xy-平面,又称为笛卡儿平面。通常两个坐标轴只要互相垂直,其指向何方对于分析问题是没有影响的,但习惯性地(见右图),x-轴被水平摆放,称为横轴,通常指向方;y-轴被竖直摆放而称为纵轴,通常指向方。两个坐标轴这样的位置关系,称为二维的右手坐标系,或右手系。如果把这个右手系画在一张透明纸片上,则在平面内无论怎样旋转它,所得到的都叫做右手系;但如果把纸片翻转,其背面看到的坐标系则称为“左手系”。这和照子时左右对调的性质有关。

为了要知道坐标轴的任何一点,离原点的距离。假设,我们可以刻画数值于坐标轴。那么,从原点开始,往坐标轴所指的方向,每隔一个单位长度,就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数,也是离原点的正值整数距离;同样地,背着坐标轴所指的方向,我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。称x-轴刻画的数值为x-坐标,又称横坐标,称y-轴刻画的数值为y-坐标,又称纵坐标。虽然,在这里,这两个坐标都是整数,对应于坐标轴特定的点。按照比例,我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标,标记为

任何一个点P在平面的位置,可以用直角坐标来独特表达。只要从点P画一条垂直于x-轴的直线。从这条直线与x-轴的相交点,可以找到点P的x-坐标。同样地,可以找到点P的y-坐标。这样,我们可以得到点P的直角坐标。例如,参阅图3,点P的直角坐标是

直角坐标系也可以推广至三维空间与高维空间 (higher dimension)。

参阅图3,直角坐标系的两个坐标轴将平面分成了四个部分,称为象限,分别用罗马数字编号为。依照惯例,象限的两个坐标都是正值;象限的x-坐标是负值,y-坐标是正值;象限的两个坐标都是负值的;象限的x-坐标是正值,y-坐标是负值。所以,象限的编号是按照逆时针方向,从象限编到象限

三维坐标系统[编辑]

图4 - 直角坐标系的几个坐标曲面。红色平面的。黄色平面的。蓝色平面的。z-轴是竖直的,以白色表示。x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点P(以黑色的圆球表示),直角坐标大约为
图5 - 三维直角坐标系。y-轴的方向是远离读者。

在原本的二维直角坐标系,再添加一个垂直于x-轴,y-轴的坐标轴,称为z-轴。假若,这三个坐标轴满足右手定则,则可得到三维的直角坐标系。这z-轴与x-轴,y-轴相互正交于原点。在三维空间的任何一点P,可以用直角坐标来表达其位置。例如,参阅图5,两个点P与Q的直角坐标分别为

三个平面,xy-平面,yz-平面,xz-平面,将三维空间分成了八个部分,称为卦限 (octant)。与二维空间的四个象限不同,只有一个卦限有编号。第一号卦限的每一个点的三个坐标都是正值的。

取向[编辑]

二维空间[编辑]

直角坐标系的x-轴与y-轴必须相互垂直。称包含y-轴的直线为y-线。在二维空间里,当我们设定了x-轴的位置与方向的同时,我们也设定了y-线的方向。可是,我们仍旧必须选择,在y-线的以原点为共同点的两条半线中,那一条半线的点的坐标是正值的,那一条是负值的?任何一种选择决定了xy-平面的取向

参阅图1。通常,我们选择的取向是,正值的x-轴横地指向右方,正值的y-轴纵地指向上方。这种取向称为正值取向标准取向,或右手取向

右手定则是一种常用的记忆方法,专门用来辨认正值取向:将一只半握拳的右手放在平面上,大拇指往上指,那么,其它的手指都从x-轴指向y-轴。

另外一种取向,采用左手定则,专门用来辨认负值取向,或左手取向:将一只半握拳的左手放在xy-平面上,大拇指往上指,那么,其它的手指都从y-轴指向x-轴。

不论坐标轴是何种取向,将坐标系统做任何角度的旋转,取向仍旧会保持不变。

三维空间[编辑]

图8 –左边是左手取向,右边是右手取向。

直角坐标系的x-轴,y-轴,与z-轴必须相互垂直。称包含z-轴的直线为z-线。在三维空间里,当我们设定了x-轴,y-轴的位置与方向的同时,我们也设定了z-线的方向。可是,我们仍旧必须选择,在z-线以原点为共同点的两条半线中,哪一条半线的点的坐标是正值的,哪一条是负值的?这两种不同的坐标系统,称为右手坐标系左手坐标系。右手坐标系又称为标准坐标系,或正值坐标系

右手坐标系这名词是由右手定则而来的。先将右手的手掌与手指伸直。然后,将中指指向往手掌的掌面半空间,与食指呈直角关系。再将大拇指往上指去,与中指,食指都呈直角关系。则大拇指,食指,与中指分别表示了右手坐标系的x-轴,y-轴,与z-轴。同样地,用左手也可以表示出左手坐标系。

图8试着展示出一个左手坐标系与一个右手坐标系。因为我们用二维画面来展示三维物体,会造成扭曲或模棱两可的图形。指向下方与右方的轴,也有指向读者的意思;而位置居于中间的轴,也有指向读者正在看的方向的意思。平行于xy-平面的红色圆形曲箭,其红色箭头从z-轴前面经过,表示从x-轴往y-轴的旋转方向。

向量[编辑]

采用直角坐标系,在三维空间里,任何一点P都可以用向量来表示。我们可以想像向量为一支羽箭,其箭尾在原点,箭锋在点P。假若点P的向量是,直角坐标是。那么,

其中,单位向量分别指向x-轴,y-轴,与z-轴指向的正无穷值方向。

参阅[编辑]

参考文献[编辑]

Descartes, René. Oscamp, Paul J. (trans). Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. 2001.

参考目录[编辑]

  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 656. ISBN 978-0-07-043316-8. 
  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 177. 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: pp. 55–79. ASIN B0000CKZX7. 
  • Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 94. 
  • Moon P, Spencer DE. Rectangular Coordinates (x, y, z). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 9–11 (Table 1.01). ISBN 978-0387184302. 

外部链接[编辑]