线性标准转换

在数学的文献中，线性标准转换(Linear Canonical Transform, LCT)也称作线性正则变换、ABCD转换、广义Fresnel变换等。在汉米尔顿力学中，线性标准转换是积分变换的一个代表家族，并且能够将许多经典的转换进行广义化，例如傅立叶变换、分数傅立叶变换、拉普拉斯变换、菲涅尔转换(电磁波在空气中传播)、高斯-魏尔斯特拉斯转换、包格曼转换等等。此转换提供了这些最常使用的线性转换一个统一框架，并且在光学、信号转换以及系统响应领域中都提供一般化的概念。尤其从系统工程的角度看来，线性标准转换提供一个强大的光学系统设计和分析的工具。 此转换有四维变数的线性积分转换和一个限制条件，因此实际上是一个三维自由度的积分变换的家族。 在群论中，线性标准转换属于特殊线性群(SR(2))在时频域上的一个作用群。

定义

从积分变换的定义开始:

$(Tf)(u)=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}K(t,u)\,f(t)\,\mathrm {d} t$

积分变换是将输入的讯号f(t)经由核心(Kernel)K(t, u)的作用后对应后的输出结果即是另一个函数$(TF)(u)$，此时$(TF)(u)$称作是$f(t)$的积分变换。

线性标准转换(LCT)以一般的线性积分变换关系表示如下:

$X_{(a,b,c,d)}(u)={\sqrt {-i}}\cdot e^{i\pi {\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {1}{b}}ut}e^{i\pi {\frac {a}{b}}t^{2}}x(t)\;\mathrm {d} t\,,$	此时 b ≠ 0,
$X_{(a,0,c,d)}(u)={\sqrt {d}}\cdot e^{i\pi cdu^{2}}x(du)\,,$	此时 b = 0.

并且需要满足此条件:

$ad-bc=1$

此时的$X_{(a,b,c,d)}(u)$表示的是讯号$x(t)$经过线性标准变换过后的结果 而我们通常使用$O_{F}^{(a,b,c,d)}$作为线性标准转换的操作函数，也就是:

$O_{F}^{(a,b,c,d)}(x(t))=X_{(a,b,c,d)}(u)$

另外，线性标准转换(LCT)也可用简单的2x2的矩阵以及一个行列式限制条件来表示，如同矩阵$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$，其条件为$\det(\mathbf {A} )=ad-bc=1$

矩阵形式在时频分析中所代表的意义是将时频域上的平行四边形面积扭曲成另一个平性四边形面积，而不同的特殊情形的矩阵形式则分别代表不同的几何转换

特殊情形

线性标准转换是许多经典转换的广义化。透过将矩阵形式带入不同的变数所得到的特殊情形如下，以下举出的转换在时频分析上均有讯号在时频域运动的意义。例如：

缩放

缩放, $x(u)\mapsto {\sqrt {\sigma }}x(\sigma u)$，是一种在时间轴和频率轴进行缩小或放大操作的转换，其中时间轴和频率轴的操作是相反的，若放大时间轴就会缩小频率轴，反之亦然：

$${\begin{bmatrix}1/\sigma &0\\0&\sigma \end{bmatrix}}$$

傅立叶转换

傅立叶变换，傅立叶变换的定义:

$F(u)=FT{(f(t))}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\ e^{-jut}\,\mathrm {d} x$, 对任意实数 u

可以将 LCT 整理成为以下形式:

$O_{F}^{(0,1,-1,0)}\left\{f(t)\right\}={\sqrt {\frac {-j}{2\pi }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{-jut}\,f(t)\,\mathrm {d} t={\sqrt {-j}}\cdot FT\left\{f(t)\right\}$

此时即是分数傅立叶变换中，当$\phi =\pi /2$的特殊情形，代表将时频域上的面积做$\phi =+\pi /2$度的旋转。另外写成矩阵的形式则为：

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}$

分数傅立叶变换

分数傅立叶变换，代表将时频域上的面积做$\phi$度的旋转，其积分变换形式为:

$O_{F}^{(cos\phi ,sin\phi ,-sin\phi ,cos\phi )}\left\{f(t)\right\}={\sqrt {e^{-j\phi }}}\cdot O_{F}^{\phi }\left\{f(t)\right\}$

若写成矩阵的形式为：

${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}$

傅立叶反变换

傅立叶反变换，傅立叶反变换的定义:

$f(t)=IFT{(F(u))}=\int _{-\infty }^{\infty }F(u)\ e^{-jut}\,\mathrm {d} x$,   对任意实数 u

可以将LCT整理成为以下形式:

$O_{F}^{(0,-1,1,0)}\left\{f(t)\right\}={\sqrt {\frac {j}{2\pi }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{jut}\,f(t)\,\mathrm {d} t={\sqrt {j}}\cdot FT^{-1}\left\{f(t)\right\}$

此时即是分数傅立叶变换中，当$\phi =-\pi /2$的特殊情形，也就是代表将时频域上的面积做$\phi =-\pi /2$度的旋转。另外写成矩阵的形式则为：

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$

菲涅尔转换

菲涅尔转换，用来描述电磁波在空气中传播的情形，代表将时频域上的面积做时间方向上的切变，若将其写成矩阵的形式为：

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}$

其中 $z$ 是距离，$\lambda$ 是波长。

拉普拉斯转换

拉普拉斯转换，代表将时频域上的面积对其复数平面做+90度的旋转，其矩阵如下:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}$

分数拉普拉斯转换

分数拉普拉斯转换，代表将时频域上的面积对其复数平面做任意角度的旋转，其矩阵如下:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i\cos \phi &i\sin \phi \\i\sin \phi &-i\cos \phi \end{bmatrix}}$

其中拉普拉斯转换是分数拉普拉斯转换中 $\phi =90^{\circ }$ 的特例，而拉普拉斯反转换则是 $\phi =90^{\circ }$ 的情形。

啾啾声载波

啾啾声载波(chirp multiplication)，其定义是如下:

$X_{a,0,c,d}(u)=e^{j\pi \tau u^{2}}x(u)$

写成矩阵的形式为：

${\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\\tau &1\end{bmatrix}}$

特性

加法性

当我们将两个参数矩阵不同的LCT组合起来，也就是对同一个讯号做两次线性标准转换。这样的结果相当于将两矩阵的乘积后的矩阵作为参数的线性标准转换，并以此新的LCT对原始讯号作用后得到的结果。最常见是维格纳分布(wigner distribution function, WDF)中的加法特性。

当使用$O_{F}^{(a,b,c,d)}$来表示LCT的作用时:

$O_{F}^{(a,b,c,d)}(x(t))=X_{(a,b,c,d)}(u)$

若现在有两种转换$O_{F}^{(a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})}(x(t))=X_{(a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})}(u)$和$O_{F}^{(a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})}(x(t))=X_{(a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})}(u)$两者依序对$x(t)$作用

则有第三种LCT其参数为前两者的矩阵形式的乘积$O_{F}^{(a_{3},b_{3},c_{3},d_{3})}(x(t))=X_{(a_{3},b_{3},c_{3},d_{3})}(u)$，将满足:

$O_{F}^{(a_{2},b_{2},c_{2},d_{2})}\left\{O_{F}^{(a_{1},b_{1},c_{1},d_{1})}[x(t)]\right\}=O_{F}^{(a_{3},b_{3},c_{3},d_{3})}[x(t)]$

用矩阵来表示为：

${\begin{bmatrix}a_{3}&b_{3}\\c_{3}&d_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{bmatrix}}$

因此，若是$W(u,v)$是$X(u)$做WDF，而$X(u)$是$x(t)$做LCT，可以表示成：

$W_{X_{(a,b,c,d)}}(u,v)=W_{x}(du-bv,-cu+av)$

$W_{X_{(a,b,c,d)}}(au+bv,cu+dv)=W_{x}(u,v)$

此两式互为相同含意，因此可知反向LCT的就是由四个参数代表矩阵的反矩阵。

结合律

当现在有三种参数不同的LCT依序对$x(t)$作用，则前两者先作用第三种再作用的结果会与，后二者先作用再由第一种作用的结果相同。

其他性质列表

性质	时域讯号	正则变换
时间平移	$f(t-\tau )\,$	$e^{-j{\frac {ac}{2}}\tau ^{2}}e^{j\cdot ac\cdot u}\cdot F_{(a,b,c,d)}(u-a\tau )\,$
调变	$e^{j\eta t}f(t)\,$	$e^{-j{\frac {bd}{2}}\eta ^{2}}e^{j\cdot d\eta \cdot u}\cdot F_{(a,b,c,d)}(u-b\eta )\,$
缩放	${\sqrt {\sigma ^{-1}}}\cdot f(\sigma ^{-1}t)\,$	$F_{(\sigma a,{\frac {b}{\sigma }},\sigma c,{\frac {d}{\sigma }})}(u)\,$
时间反转	$f(-t)\,$	$F_{(a,b,c,d)}(-u)\,$
乘	$tf(t)\,$	$(b\cdot j{\frac {d}{du}}+d\cdot u)\cdot F_{(a,b,c,d)}(u)\,$
微分	$f'(t)\,$	$(a\cdot {\frac {d}{du}}-c\cdot ju)\cdot F_{(a,b,c,d)}(u)\,$
除	${\frac {f(t)}{t}}\,$	$-{\frac {j}{b}}e^{{\frac {j}{2}}{\frac {d}{b}}u^{2}}\int _{-\infty }^{u}e^{{\frac {j}{2}}{\frac {d}{b}}z^{2}}F_{(a,b,c,d)}(z)\,dz\,$
积分	$\int _{-\infty }^{t}f(t')\,dt'$	${\frac {e^{{\frac {j}{2}}{\frac {c}{a}}u^{2}}}{a}}\int _{-\infty }^{u}e^{-{\frac {j}{2}}{\frac {c}{a}}z^{2}}F_{(a,b,c,d)}(z)\,dz\quad when\;a>0\,$
		${\frac {e^{{\frac {j}{2}}{\frac {c}{a}}u^{2}}}{-a}}\int _{u}^{\infty }e^{-{\frac {j}{2}}{\frac {c}{a}}z^{2}}F_{(a,b,c,d)}(z)\,dz\quad when\;a<0\,$
共轭	${\overline {O_{F}^{(a,b,c,d)}\left\{f(t)\right\}}}=O_{F}^{(a,-b,-c,d)}\left\{{\overline {f(t)}}\right\}\,$
能量守恒	$\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(t)\right|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|F_{(a,b,c,d)}(u)\right|^{2}\,du\,$
一般化能量守恒	$\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {g(t)}}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }F_{(a,b,c,d)}{\overline {G_{(a,b,c,d)}}}(u)\,du\,$

反线性正则转换

参数为$\,\{a,b,c,d\}\,$的线性标准转换其反线性标准转换参数为$\,\{d,-b,-c,a\}\,$

$O_{F}^{(d,-b,-c,a)}\left\{O_{F}^{(a,b,c,d)}\left\{f(t)\right\}\right\}=f(t)$

LCT的讯号扭曲运用

利用LCT的特性，可以把原本的讯号转变成另外的形式，此过程可以轻易的用LCT来将一个矩形的区域，变成另外一个平行四边形区域，此概念是利用线性代数上的基底变换，来把原本的基底换成另外一种型式来呈现，因此要符合线性代数中基底变换的限制，其中心点为(0,0)，若无法满足此条件，则无法使用LCT的线性转换公式，并且此转换的行列式为1，不会改变原来区域的面积大小，并且转换前后皆为平行四边形，因此可以把一些不好运算的平行四边形，借由LCT的方式，转换到比较容易计算或是比较容易理解的基底，有利于运算的考量。 举例来说：

在二维的平面上，若已知两个平面个别为，一个中心点为原点的矩形，四个点分别为：(-1,2),(1,2),(-1,-2),(1,-2)，和经过LCT的转换可以变成中心点为原点的平行四边形，其四个点为：(1,1),(7,3),(-7,-3),(-1,-1)，可以借由其中两个点来解联立方程式，算出a,b,c,d，所代表的数值，

${\begin{cases}a(-1)+b(2)=1,\ a(1)+b(2)=7\\c(-1)+d(2)=1,\ c(1)+d(2)=3\end{cases}}$

$\Rightarrow {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&1\\2&1\end{bmatrix}}$

其总面积皆为：8

LCT在各领域的应用

LCT在许多的工程领域中都十分地实用，因为LCT能够用来描述任何的二次相位系统，以及这些二次相位系统的串接组合，以下我们将举出LCT在多个领域中的应用实例:

时频分析

对一信号做线性正则转换相当于对时间-频率域的分布做扭曲

一信号  $x(t)\,$  及其线性正则变换 $X_{(a,b,c,d)}(u)\,$ 的维格纳分布分别表示为 $W_{X}(t,f)\,$ 和 $W_{X_{(a,b,c,d)}}(u,v)\,$ ，

它们在时频域的分布有以下关系:

$W_{X_{(a,b,c,d)}}(u,v)=W_{X}(dt-bf,-ct+af)$

$W_{X_{(a,b,c,d)}}(au+bv,cu+dv)=W_{X}(t,f)$

滤波器设计

利用线性正则转换改变信号在时频域的分布来设计滤波器。

$x_{o}(t)=O_{F}^{(d,-b,-c,a)}\left\{O_{F}^{(a,b,c,d)}\left\{x_{i}(t)\right\}\cdot H_{(a,b,c,d)}(t)\right\}$

其中 $H_{(a,b,c,d)}(t)\,$ 表示转换后的域的滤波器

电磁波传播

电磁波在空气中传播的行为是透过菲涅尔转换来描述，假设一光学系统满足菲涅尔近似而电磁波由$x_{i},y_{i}$平面传播到$x,y$平面，则式子如下:

$U_{0}(x,y)=-{\frac {j}{\lambda }}{\frac {e^{jkz}}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{j{\frac {k}{2z}}[(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}]}U_{i}(x_{i},y_{i})\;\mathrm {d} x_{i}\;\mathrm {d} y_{i},$

其中

$k=2\pi /\lambda$	: 波数;
$\lambda$	: 波长;
$z$	: 传播距离;
$j$	: 虚数.

如果我们以LCT的矩阵形式来表示的话则是:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z/2\pi \\0&1\end{bmatrix}}$

在时频域上将讯号作对时间轴的切变，其中$\lambda$越大，则切变效果越剧烈。

光学系统

球面薄凸透镜

• 假设透镜的折射系数为n，则电磁波经过薄透镜折射之后的结果，可以用下列式子表示:

$U_{0}(x,y)=e^{jkn\Delta }e^{-j{\frac {k}{2f}}[x^{2}+y^{2}]}U_{i}(x,y)$

• 如果以LCT的矩阵形式来表示则是:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}$

在时频域上将讯号作对频率轴的切变，但此时与菲涅尔转换不同的是$\lambda$越大，切变得效果越小。

球面反射镜

球面反射镜的LCT矩阵形式与薄凸透镜很类似，但此时影响频率轴上的切变不是焦距而是求面反射镜的半径，其矩阵形式如下:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R}}&1\end{bmatrix}}$

线性正则转换分析光学优缺点

优点:在计算上只需要用到2X2的矩阵运算，避免了复杂的数学积分运算与物理理论

缺点:得到的结果只有在近轴(靠近光传播方向)准确性高

结合LCT加成性的例子

当电磁波由左端平面输入，在空气传播时使用菲涅尔转换描述，接着在距离为z1处经过一焦距为f的薄凸透镜折射后再射入空气中传播距离z2后由右端平面输出，此过程经过三层LCT的操作，依序为菲涅尔转换、薄凸透镜折射和菲涅尔转换。

根据LCT加成性，整个LCT过程相当于作用以下三个矩阵相乘后的矩阵乘积。

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z_{1}/2\pi \\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda z_{/}2\pi \\0&1\end{bmatrix}}$

基本性质

在这个部分，我们列出了一些 LCT 的基本性质：

运算子	转换矩阵
$L(T)$	${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$
$L(T_{1})L(T_{2})$	$T_{2}T_{1}$
$L^{-1}(T)=L(T^{-1})$	${\begin{bmatrix}d^{t}&-b^{t}\\-c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}$
$L({\widehat {T}})=L^{*}(T^{-1})$	${\begin{bmatrix}d^{t}&b^{t}\\c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}$
$F$	${\begin{bmatrix}0&I\\-I&0\end{bmatrix}}$
${\begin{cases}FL(T)F^{-1}=L^{*}(T^{t-1})\\F^{-1}L(T)F=L^{*}(T^{t-1})\end{cases}}$	${\begin{bmatrix}d&-c\\-b&a\end{bmatrix}}$

给定一个二维的行向量 $r={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ ，我们列出在某些特定输入之下 LCT 所展现的特殊性质。

输入	输出	备注
$f_{i}(r)$	$f_{o}(r)=L(T){\displaystyle f_{i}(r)}\,,$ 当 $\,T={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$
$\sum _{n}a_{n}f_{n}(r)$	$\sum _{n}a_{n}Lf_{n}(r)$	线性
$f_{i}(r),h_{i}(r)$	$\int f_{i}(r)h_{i}^{*}(r)dr=\int f_{o}(r)h_{o}^{*}(r)dr$	帕塞瓦尔定理
$f_{i}^{*}(r)$	$[L(T^{-1})f_{i}(r)]^{*}\,,$ 当 $\,T^{-1}={\begin{bmatrix}d^{t}&-b^{t}\\-c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}$	负共轭
$\mathrm {M} ^{n}f_{i}(r)$	$(d^{t}\mathrm {M} -b^{t}D)^{n}f_{o}(r)\qquad \mathrm {M} =r$	乘法
$D^{n}f_{i}(r)$	$(-c^{t}\mathrm {M} -a^{t}D)^{n}f_{o}(r)\qquad D=(i2\pi )^{-1}\nabla ^{t}$	导数
$f_{i}(r)e^{i2\pi k^{t}r}$	$f_{o}(r-bk)e^{i2\pi k^{t}d^{t}r}e^{-i\pi k^{t}b^{t}dk}$	调变
$f_{i}(r-k)$	$f_{o}(r)e^{i2\pi k^{t}c^{t}r}e^{-i\pi k^{t}c^{t}ak}$	平移
$|\det(W)|^{-1/2}f_{i}(W^{-1}r)$	$L({\tilde {T}})f_{i}(r)\,,$ 当 $\,{\tilde {T}}=T{\begin{bmatrix}W&0\\0&W^{t-1}\end{bmatrix}}$	缩放
$f_{i}(-r)$	$L(-T)f_{i}(r)=f_{o}(-r)$	缩放
1	$(\det(A))^{-1/2}e^{i\pi r^{t}CA^{-1}r}$
$e^{i\pi r^{t}L_{i}r}$	$[\det(A+iL_{i})]^{-1/2}e^{-\pi r^{t}L_{o}r}\,,$ 当 $\,iL_{o}=(C+iDL_{i})(A+iBL_{i})^{-1}$
$e^{i2\pi k^{t}r}$	$(\det(A))^{-1/2}e^{i\pi r^{t}CA^{-1}r}*e^{-i\pi k^{t}A^{-1}BK}e^{i2\pi k^{t}CA^{-1}r}$

范例

考虑一个包含两个雷达天线的系统，两个天线面对面放置，其中一个为信号发出端另一个为接收端，两个天线之间的距离为 $D$ ，讯号在两个天线之间传递。首先，对天线 A (发出端) 来说，LCT 矩阵可以写成以下形式：

$${\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}.$$

接着，对天线 B (接收端) 来说，LCT 矩阵可以写成以下形式：

$${\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}.$$

最后，对于在空气中传递的讯号来说，LCT 矩阵可以写成以下形式：

$${\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}.$$

将三个部分合在一起，整个系统的 LCT 可以整合成：

$${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {D}{R_{A}}}&-\lambda D\\{\frac {1}{\lambda }}(R_{A}^{-1}+R_{B}^{-1}-R_{A}^{-1}R_{B}^{-1}D)&1-{\frac {D}{R_{B}}}\end{bmatrix}}\,.$$

和粒子物理的关联

研究指出费米子的某些性质可能可以在粒子物理的标准模型中，和线性标准转换的自旋表示中建立一些关系。在这个方法中，粒子的电荷，弱超荷和弱同位旋被表示成某些用 LCT 的自旋表示相关的克里福代数定义的运算子的线性组合。

参考

Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2009.

Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2021.

A. Stern, “Why is the linear canonical transform so little known?” in Proceedings of 5th International Workshop on Information Optics, G. Cristóbal, B. Javidi, and S. Vallmitjana, eds (Springer, 2006), pp. 225–234.

许天周，李炳照，线性正则变换及应用，北京：科学出版社，2013.02