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线性无关

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线性代数

向量 · 向量空间  · 行列式  · 矩阵

线性代数里,向量空间的一组元素中,若没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示,则称为线性无关线性独立linearly independent),反之称为线性相关linearly dependent)。例如在三维欧几里得空间R3的三个向量(1, 0, 0),(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, −1, 1),(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关,因为第三个是前两个的和。

定义[编辑]

假设V是在K上的向量空间。如果v1, v2, ..., vnV的向量,称它们为线性相关,如果从域K 中有非全零的元素a1, a2, ..., an,使得

或更简略地表示成,

(注意右边的零是V的零向量,不是K的零元。)

如果K中不存在这样的元素,那么v1, v2, ..., vn线性无关

线性无关可以给出更直接的定义。向量v1, v2, ..., vn线性无关,当且仅当它们满足以下条件:如果a1, a2, ..., anK的元素,适合:

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0,

那么对所有i = 1, 2, ..., n都有ai = 0。

V中的一个无限集,如果它任何一个有限子集都是线性无关,那么原来的无限集也是线性无关。

线性相关性是线性代数的重要概念,因为线性无关的一组向量可以生成一个向量空间,而这组向量则是这向量空间的

相关性[编辑]

  • 含有零向量的向量组,必定线性相关。
若有向量组,其中,则
  • 含有两个相等向量的向量组,必定线性相关。
若有向量组,其中,则
  • 若一向量组相关,则加上任意个向量后,仍然线性相关;即局部线性相关,整体必线性相关。
  • 整体线性无关,局部必线性无关。
  • 向量个数大于向量维数,则此向量组线性相关。
  • 若一向量组线性无关,即使每一向量都在同一位置处增加一分量,仍然线性无关。
  • 若一向量组线性相关,即使每一向量都在同一位置处减去一分量,仍然线性相关。
  • 线性无关,而线性相关,则必可由线性表示,且表示系数唯一。
  • 有向量组,其中,且中每个向量都可由线性表示,则向量组必线性相关。即向量个数多的向量组,若可被向量个数少的向量组线性表示,则向量个数多的向量组必线性相关。
  • 若一向量组可由向量组线性表示,且线性无关,则。即线性无关的向量组,无法以向量个数较少的向量组线性表示。

例子1[编辑]

V = Rn,考虑V内的以下元素:

e1e2、……、en是线性无关的。

证明[编辑]

假设a1a2、……、anR中的元素,使得:

由于

因此对于{1, ..., n}内的所有i,都有ai = 0。

例子2[编辑]

V是实变量t的所有函数向量空间。则V内的函数ete2t是线性无关的。

证明[编辑]

假设ab是两个实数,使得对于所有的t,都有:

aet + be2t = 0

我们需要证明a = 0且b = 0。我们把等式两边除以et(它不能是零),得:

bet = −a

也就是说,函数bett一定是独立的,这只能在b = 0时出现。可推出a也一定是零。

例子3[编辑]

R4内的以下向量是线性相关的。

证明[编辑]

我们需要求出标量,使得:

可以形成以下的方程组

解这个方程组(例如使用高斯消元法),可得:

由于它们都是非平凡解,因此这些向量是线性相关的。

参考文献[编辑]