能量条件

在重力的相对论性古典场论，特别是广义相对论，能量条件为众多限制条件中的一项，这些条件不是场方程式的结果，但可加诸一时空模型上，作为额外的约束。目标是希望任何物理学上合理的自然界物质分布至少会“符合”这些条件中的一项，而多数不合理的分布则会至少“违背”其中一项。

动机[编辑]

在广义相对论与其相关的理论中，来自物质以及其他非重力之力场所造成的质量、动量与应力的分布是由能量-动量张量（或称物质张量、能量-应力张量） $T^{ab}\,$ 所描述。然而，爱因斯坦场方程式对于一时空模型中，物质或非重力力场的哪些状态是被许可的并不太拣选。这个特色是项长处——既然一个良好的重力普适性理论应该要尽量与非重力物理学中任何假设无关，不过这也是项短处——因为若无额外的准则，爱因斯坦场方程式许可一些多数物理学家认为带有非物理性特质的想像解，亦即：太怪异的解，而不与真实宇宙中任何事物相像，即便近似上地讲。

能量条件则代表这样的准则。约略来说，它们粗略地描述了物质与非重力力场（几乎）所有状态其大体上会有的特质；这些特质在物理学上多数已完善了解，足以排除爱因斯坦场方程式许多非物理性的“解”。

数学上来说，能量条件最明显可做区别的特征为：它们本质上是对于物质张量的本征值与本征向量的限制。一个更微细但一样重要的特征为：它们加诸的对象是“事件尺度的”(eventwise)，所在为切空间的阶层，也就是说它们是定域性质的约束。因此，它们并无希望能够排除掉一些受争议的全域特征的事物，例如封闭类时曲线(closed timelike curves)。

一些可观测量[编辑]

数学陈述[编辑]

目前常用的能量条件约有五、六种样式：

弱能量条件(weak energy condition)规定对于每个指向未来(future-pointing)的“类时向量场”(timelike vector field) ${\vec {X}}$ ，相应的观察者所观察到的物质密度永不为负值：
$\mu =T_{ab}\,X^{a}\,X^{b}\geq 0$

零能量条件(null energy condition)规定对于每个指向未来的“零向量场”(null vector field) ${\vec {k}}$ ：
$\mu =T_{ab}\,k^{a}\,k^{b}\geq 0$

强能量条件(strong energy condition)规定对于每个指向未来的“类时向量场” ${\vec {X}}$ ，由相应的观察者所测量到的潮汐张量(tidal tensor)的迹数(trace)永不为负值：
$\left(T_{ab}-{\frac {1}{2}}\,T\,g_{ab}\right)\,X^{a}\,X^{b}\geq 0$

主能量条件(dominant energy condition)规定，除了弱能量条件成立之外，对于每个指向未来的“因果性向量场”(causal vector field)（也就是类时或零） ${\vec {Y}}$ ，向量场 $-{T^{a}}_{b}\,Y^{b}$ 必须是指向未来的“因果性向量场”。换句话说，质能永远不会被观测到以超过光速的速度流动。

上面这些能量条件都有个“平均”版本，其中上面提到的性质仅在沿着适当向量场的流线(flowline)上“平均上地”成立。举例来说，平均零能量条件(averaged null energy condition)陈述：对于零向量场 ${\vec {k}}$ 的每条流线（积分曲线(integral curve)） $C$ ，我们必须有

\int _{C}T_{ab}\,k^{a}\,k^{b}\,d\lambda \geq 0

。

完美流体[编辑]

完美流体(Perfect fluids)其物质张量具有如下形式

T^{ab}=\mu \,u^{a}\,u^{b}+p\,h^{ab}

其中 ${\vec {u}}$ 为物质粒子的4-速度，而 $h^{ab}$ 为在每个事件点，投影到垂直于4-速度的空间性超平面元素(spatial hyperplane elements)投影张量(projection tensor)。（注意到这些超平面元素不会构成空间性的超切片(hyperslice)，除非速度是无涡性(vorticity-free)的，也就是不旋转的(irrotational)）。对于物质粒子运动相伴行的参考系，物质张量的分量呈现对角形式：

T^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=\left[{\begin{matrix}\mu &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right]

此处， $\mu$ 是物质密度（质能密度）而 $p$ 是压力。

能量条件则可以针对本征值来重新表述：

弱能量条件规定 $\mu \geq 0,\;\;\mu +p\geq 0$
零能量条件规定 $\mu +p\geq 0$
强能量条件规定 $\mu +p\geq 0,\;\;\mu +3p\geq 0$
主能量条件规定 $\mu \geq |p|$

这些能量条件之间的引申关系在右图中指出。注意到其中一些能量条件允许负压力。另外注意到：尽管名称上称作“强”能量条件，其并不引申到“弱”能量条件，即使在完美流体的课题中亦然如此。

反例[编辑]

参考文献[编辑]

Hawking, Stephen; and Ellis, G. F. R. The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press. 1973. ISBN 978-0-521-09906-6. The energy conditions are discussed in §4.3.

Poisson, Eric. A Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black Hole Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press. 2004. ISBN 978-0-521-83091-1. Various energy conditions (including all of those mentioned above) are discussed in Section 2.1.

Carroll, Sean M. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. San Francisco: Addison-Wesley. 2004. ISBN 978-0-8053-8732-2. Various energy conditions are discussed in Section 4.6.

Wald, Robert M. General Relativity. Chicago: University of Chicago Press. 1984. ISBN 978-0-226-87033-5. Common energy conditions are discussed in Section 9.2.