芬斯拉不等式

芬斯拉不等式（Finsler's Inequality）是一条反映了三角形三边与其面积之间的关系的几何不等式。

设△ABC的三边长分别为$a$, $b$, $c$，面积为$S$，则

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}S$ （当且仅当$a=b=c$时，等号成立）……（1）

证明一：如图，因任意△ABC的三条高至少有一条在△ABC内，不妨设BC边上的高AD在△ABC内，设$AD=h$，$BD=m$，$DC=n$，则有

$a^{2}=(m+n)^{2}$，$b^{2}=h^{2}+n^{2}$，$c^{2}=h^{2}+m^{2}$，$S={\frac {(m+n)h}{2}}$，

∵$[h-{\tfrac {{\sqrt {3}}(m+n)h}{2}}]^{2}+[{\tfrac {(m-n)h}{2}}]^{2}\geq 0$ ……（2）

等号当且仅当$h={\tfrac {{\sqrt {3}}(m+n)}{2}}$，且$m=n$时，即△ABC为正三角形时成立。展开（2）式并整理可得

$(m+n)^{2}+h^{2}+n^{2}+h^{2}+m^{2}\geq 2{\sqrt {3}}(m+n)h$，

∴ $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}S$。（当$a=b=c$时，等号成立）

注：证明的关键是巧妙在构造不等式（2），为此必须首先猜想到当$a=b=c$时，正三角形的面积最大，此时有$m=n$，$h={\tfrac {{\sqrt {3}}(m+n)}{2}}$，利用这两个公式就可造出不等式（2）。

证明二：由余弦定理及三角形面积公式，

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}S$

$=a^{2}+b^{2}+(a^{2}+b^{2}-2ab\cos C)-2{\sqrt {3}}ab\sin C$

$=2(a^{2}+b^{2}-2ab\sin(C+{\frac {\pi }{6}}))$

$\geq 2(a^{2}+b^{2}-2ab)=2(a-b)^{2}\geq 0$

当且仅当$a=b$，∠C=60°，即$a=b=c$时，等号成立。

芬斯拉不等式的推广

1、若a、b、c、d为四边形的四条边，S为其面积，则有

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq 4S$

等号当且仅当四边形为正方形时成立。

2、若$L_{1}$、$L_{2}$、……、$L_{n}$为n边形的边长，S为其面积，则有

$L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+$……$L_{n}^{2}\geq 4S\tan {\tfrac {\pi }{n}}(n\geq 3)$

等号当且仅当这个n边形为正n边形时成立。