超实数 (非标准分析)

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超实数轴上的无穷小(ε)和无穷大(ω)(1/ε=ω/1)
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超实数系统是为了严格处理无穷量(无穷大量无穷小量)而提出的。自从微积分的发明以来,数学家、科学家和工程师等(包括牛顿莱布尼兹在内)就一直广泛地用无穷小量等概念。超实数集,或称为非标准实数集,记为,是实数集  的一个扩张;其中含有一种数,它们大于所有如下形式的数:

有限个)

这可以解释为无穷大;而它们的倒数就作为无穷小量 满足如下性质:任何关于  的一阶命题如果成立,则对  也成立。这种性质称为传达原理英语Transfer principle。举例来说,实数集的加法交换律

是关于  的一阶命题。因此以下命题同样成立:

也就是说超实数集同样满足加法交换律。

无穷小量的概念是否严格呢?此问题可以追溯到古希腊数学:数学家们如欧几里得阿基米德等,为了在一些证明里绕开无穷小量的争议以保证严格性,而采用了穷竭法等其它说明方式[1]。而亚伯拉罕·鲁滨逊在1960年代证明了,

超实数系统是相容的,当且仅当实数系统是相容的

换句话说,如果对实数的使用没有怀疑,那也可以放心使用超实数。在处理数学分析的问题时对超实数、尤其是传达原理的使用,通称为非标准分析

参考资料[编辑]

  1. ^ Ball, p. 31
  • Ball, W.W. Rouse. A Short Account of the History of Mathematics 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908]. New York: Dover Publications. 1960: 50–62. ISBN 0-486-20630-0.