双极坐标系

双极坐标系绘图。图中的红色圆圈是 $\sigma \,\!$-等值曲线，蓝色圆圈则是 $\tau \,\!$-等值曲线。

二维双极坐标系（英语：Bipolar coordinates）是一个正交坐标系。学术界上有三种常用的双极坐标系。除了在这里讨论的坐标系以外，另外两种是非正交的双心坐标系与双角坐标系。

这里所要讨论的双极坐标系建立于阿波罗尼奥斯圆。$\sigma \,\!$ 的等值曲线是圆圈。 $\tau \,\!$ 的等值曲线也是圆圈。两组圆圈互相垂直相交。双极坐标系有两个焦点 $F_{1}\,\!$ 与 $F_{2}\,\!$ ，其直角坐标 $(x,\ y)\,\!$ 通常分别设定为 $(-a,\ 0)\,\!$ 与 $(a,\ 0)\,\!$ 。所以，这两个焦点都处于直角坐标系的 x-轴。

双极坐标系是好几种三维正交坐标系的原始模。往 z-轴方向延伸，则可得到双极圆柱坐标系。绕着 x-轴旋转，即可得到双球坐标系。绕着 y-轴旋转，就可得到圆环坐标系。

基本定义

双极坐标的几何诠释。 ${\overline {F_{1}P}}\,\!$ 与 ${\overline {F_{2}P}}\,\!$ 的夹角 $\angle F_{1}PF_{2}\,\!$ 的弧度是 $\sigma \,\!$ 。$F_{1}P\,\!$ 与 $F_{2}P\,\!$ 的比例的自然对数是 $\tau \,\!$ 。$\sigma \,\!$ 与 $\tau \,\!$ 的等值曲线都是圆圈，分别以红色与蓝色表示。两条等值曲线以直角相交（以洋红色表示）。

在二维空间里，一个点 P 的双极坐标 $(\sigma ,\ \tau )\,\!$ 通常定义为

$x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\,\!$，

$y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\,\!$；

其中，点 $P\,\!$ 的 $\sigma \,\!$ 坐标等于 $\angle F_{1}PF_{2}\,\!$ 的弧度，$\tau \,\!$ 坐标等于 $d_{1}=F_{1}P\,\!$ 与 $d_{2}=F_{2}P\,\!$ 的比例的自然对数

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,\!$。

（回想 $F_{1}\,\!$ 与 $F_{2}\,\!$ 的坐标分别为 $(-a,\ 0)\,\!$ 与 $(a,\ 0)\,\!$ ）。

等值曲线

不同 $\sigma \,\!$ 的等值曲线是一组不同圆心，而相交于两个焦点 $F_{1}\,\!$ 与 $F_{2}\,\!$ 的圆圈：

$x^{2}+(y-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}\,\!$

它们的圆心都包含于 y-轴。正值 $\sigma \,\!$ 的圆圈的圆心都在 x-轴以上；而负值 $\sigma \,\!$ 的圆圈的圆心则在 x-轴以下。当绝对值 $\left|\sigma \right|\,\!$ 增加时，圆半径会减小，圆心会靠近原点。当圆心与原点同点时，$\left|\sigma \right|\,\!$ 达到最大值 $\pi /2\,\!$ 。

不同 $\tau \,\!$ 的等值曲线是一组围着焦点，互不相交，不同半径的圆圈。半径为

$y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}\,\!$ 。

它们的圆心都包含于 x-轴。正值 $\tau \,\!$ 的圆圈在 $x>0\,\!$ 半平面；而负值 $\tau \,\!$ 的圆圈在 $x<0\,\!$ 半平面。$\tau =0\,\!$ 曲线则与 y-轴同轴。当 $\tau \,\!$ 值增加时，圆圈的半径会减少，圆心会靠近焦点。

逆变换

双极坐标 $(\sigma ,\ \tau )\,\!$ 可以用直角坐标 $(x,\ y)\,\!$ 来表达。点 P 与两个焦点之间的距离是

$d_{1}^{2}=(x+a)^{2}+y^{2}\,\!$ ，

$d_{2}^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}\,\!$ 。

$\tau \,\!$ 是 $d_{1}\,\!$ 与 $d_{2}\,\!$ 的比例的自然对数：

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,\!$ 。

$\angle F_{1}PF_{2}\,\!$ 是两条从点 P 到两个焦点的线段 ${\overline {F_{1}P}}\,\!$ 与 ${\overline {F_{2}P}}\,\!$ 的夹角。这夹角的弧度是 $\sigma \,\!$ 。用余弦定理来计算：

$\cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}\,\!$ ；

标度因子

双极坐标 $(\sigma ,\ \tau )\,\!$ 的标度因子相等：

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}\,\!$ 。

所以，无穷小面积元素等于

$dA={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}\ d\sigma d\tau \,\!$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi =\left({\frac {\cosh \tau -\cos \sigma }{a}}\right)^{2}({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}})\,\!$ 。

其它微分算子，例如 $\nabla \cdot \mathbf {F} \,\!$ 与 $\nabla \times \mathbf {F} \,\!$ ，都可以用双极坐标表达，只需要将标度因子代入正交坐标系的一般方程内。

应用

双极坐标有一个经典的应用是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程这类的偏微分方程。在这些方程里，双极坐标允许分离变数法的使用。一个典型的例题是，“有两个互相平行的圆柱导体，请问其周围的电场为什么？” 应用双极坐标，我们可以精致地分析这例题。

参阅

• 拉普拉斯-龙格-楞次向量

参考文献

• H. Bateman "Spheroidal and bipolar coordinates", Duke Mathematical Journal 4 (1938), no. 1, 39–50。
• Lockwood, E. H. "Bipolar Coordinates." Chapter 25 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 186-190, 1967。
• Korn GA and Korn TM, (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill。