在电磁学 里，电磁波方程 （英语：Electromagnetic wave equation）乃是描述电磁波 传播于介质 或真空 的二阶微分方程 。电磁波的波源是局域化的含时电荷密度 和电流密度 ，假若波源为零，则电磁波方程约化为二阶齐次微分方程 电场
E
{\displaystyle \mathbf {E} \,\!}
磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
(
∇
2
−
1
c
2
∂
2
∂
t
2
)
E
=
0
{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0\,\!}
(
∇
2
−
1
c
2
∂
2
∂
t
2
)
B
=
0
{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0\,\!}
其中，
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}\,\!}
拉普拉斯算符 ，
c
{\displaystyle c\,\!}
t
{\displaystyle t\,\!}
时间 。
由于光波 就是电磁波，
c
{\displaystyle c\,\!}
光速 。在真空里，
c
=
c
0
=
299
,
792
,
458
{\displaystyle c=c_{0}=299,792,458\,\!}
自由空间 的速度。
在詹姆斯·麦克斯韦 的1864年论文《电磁场的动力学理论 》内，麦克斯韦将位移电流 与其它已成立的电磁方程合并，因而得到了描述电磁波的波动方程 。最令人振奋的是，这方程所描述的波动的波速等于光波的速度。他这样说[1]
这些殊途一致的结果，似乎意味着光波与电磁波都是同样物质的属性，并且，光波是按照着电磁定律传播于电磁场的电磁扰动。 — 詹姆斯·麦克斯韦
理论推导 [ 编辑 ] 在真空里，麦克斯韦方程组 的四个微分方程为
∇
⋅
E
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\,\!}
(1)
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}
(2)
∇
⋅
B
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!}
(3)
∇
×
B
=
μ
0
ε
0
∂
E
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}
(4) 其中，
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}\,\!}
真空磁导率 ，
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}\,\!}
真空电容率 。
分别取公式(2)、(4)的旋度 ，
∇
×
(
∇
×
E
)
=
−
∂
∂
t
(
∇
×
B
)
=
−
μ
0
ε
0
∂
2
E
∂
t
2
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\,\!}
∇
×
(
∇
×
B
)
=
μ
0
ε
0
∂
∂
t
(
∇
×
E
)
=
−
μ
o
ε
o
∂
2
B
∂
t
2
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {E} )=-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\!}
应用一则向量恒等式 （这里，
∇
2
V
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {V} }
拉普拉斯算子 ，即拉普拉斯–德拉姆算子 ）
∇
×
(
∇
×
V
)
=
∇
(
∇
⋅
V
)
−
∇
2
V
{\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} \,\!}
其中，
V
{\displaystyle \mathbf {V} \,\!}
将公式(1)、(3)代入，即可得到亥姆霍兹方程 形式的波动方程：
(
∇
2
−
1
c
2
∂
2
∂
t
2
)
E
=
0
{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0\,\!}
(5)
(
∇
2
−
1
c
2
∂
2
∂
t
2
)
B
=
0
{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0\,\!}
(6) 其中，
c
=
c
0
=
1
μ
0
ε
0
=
2.99792458
×
10
8
{\displaystyle c=c_{0}={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\,\!}
齐次的波动方程的协变形式 [ 编辑 ] 电磁四维势
A
μ
{\displaystyle A^{\mu }\,\!}
电势
ϕ
{\displaystyle \phi \,\!}
矢量势
A
{\displaystyle \mathbf {A} \,\!}
A
μ
=
d
e
f
(
ϕ
/
c
,
A
)
{\displaystyle A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )\,\!}
采用洛伦茨规范 ：
∂
A
μ
∂
x
μ
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!}
前述那些齐次的波动方程(5)、(6)，可以按照反变形式 写为
◻
A
μ
=
0
{\displaystyle \ \Box A^{\mu }=0\,\!}
其中，
◻
=
∂
ν
∂
ν
=
∂
2
∂
x
ν
∂
x
ν
=
1
c
2
∂
2
∂
t
2
−
∇
2
{\displaystyle \Box =\partial ^{\nu }\partial _{\nu }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\nu }\partial x^{\nu }}}={\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}\,\!}
达朗贝尔算子 ，又称为四维拉普拉斯算子 。
弯曲时空中的齐次的波动方程 [ 编辑 ] 齐次的电磁波方程在弯曲时空 中需要做两处修正，分别是将偏导数替换为协变导数 ，以及增加了一项有关时空曲率的项。假设洛伦茨规范 在弯曲时空中的推广为
A
μ
;
μ
=
d
e
f
∂
A
μ
∂
x
μ
=
0
{\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!}
那么，弯曲时空中的齐次的波动方程为
−
A
α
;
β
β
+
R
α
β
A
β
=
0
{\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0\,\!}
其中，
R
α
β
{\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta }\,\!}
里奇曲率张量 。
非齐次的电磁波方程 [ 编辑 ] 追根究底，局域化的含时电荷密度 和电流密度 是电磁波的波源。在有波源的情形下，麦克斯韦方程组可以写成一个非齐次的电磁波方程的形式。正是因为波源的存在，使得偏微分方程变为非齐次。
波动方程的解 [ 编辑 ] 在齐次的电磁波方程中，电场和磁场的每一个分量都满足标量波动方程
1
c
2
∂
2
f
∂
t
2
−
∇
2
f
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2}f \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}f\ =\ 0\,\!}
(7) 其中，
f
{\displaystyle f\,\!}
良态 函数，
标量波动方程的一般解的形式为
f
(
r
,
t
)
=
g
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
{\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}
其中，
g
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
{\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
位置向量 ，
t
{\displaystyle t\,\!}
k
{\displaystyle \mathbf {k} \,\!}
波矢 ，
ω
{\displaystyle \omega \,\!}
角频率 。
函数
g
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
{\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}
k
{\displaystyle \mathbf {k} \,\!}
g
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
{\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}
波数 的色散关系 ：
ω
2
=
c
2
k
2
{\displaystyle \omega ^{2}=c^{2}k^{2}\,\!}
或者，角频率一定大于零，但波数可以是负值：
ω
=
c
|
k
|
{\displaystyle \omega =c|k|\,\!}
正弦波 [ 编辑 ] 正弦函数 和余弦函数 的曲线是不同相位的正弦曲线。假设，函数
g
{\displaystyle g\,\!}
正弦波 ：
f
=
f
0
cos
(
k
⋅
r
−
ω
t
+
ϕ
0
)
{\displaystyle f=f_{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})\,\!}
其中，
f
0
{\displaystyle {f}_{0}\,\!}
波幅 ，
ϕ
0
{\displaystyle \phi _{0}\,\!}
初相位 。
根据欧拉公式 ，
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
{\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,\!}
函数
f
{\displaystyle f\,\!}
复数 的实值部分
f
=
Re
{
f
0
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
+
ϕ
0
)
}
{\displaystyle f=\operatorname {Re} \{f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}\}\,\!}
以上方加有波浪号 的符号来标记复值变数 。设定复值函数
f
~
{\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}
f
~
=
f
0
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
+
ϕ
0
)
=
f
~
0
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
{\displaystyle {\tilde {f}}=f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}={\tilde {f}}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}
其中，
f
~
0
=
f
0
e
i
ϕ
0
{\displaystyle {\tilde {f}}_{0}=f_{0}e^{i\phi _{0}}\,\!}
波幅 。
那么，
f
=
Re
{
f
~
}
{\displaystyle f=\operatorname {Re} \{{\tilde {f}}\}\,\!}
标量波动方程的正弦波解的形式为
f
~
{\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}
f
{\displaystyle f\,\!}
线性方程 ，都可以用复函数
f
~
{\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}
f
{\displaystyle f\,\!}
由于指数函数 比三角函数 容易计算，在很多场合，都可以使用这技巧。
线性叠加 [ 编辑 ] 任意波动
f
(
r
,
t
)
{\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!}
无限集合 的不同频率的正弦波的线性叠加 ：
f
(
r
,
t
)
=
∫
0
∞
f
~
0
(
r
,
ω
)
e
−
i
ω
t
d
ω
{\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\ d\omega \,\!}
所以，只要能得知单独频率的波动
f
~
0
(
r
,
ω
)
{\displaystyle {\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )\,\!}
单色波 ）的表达式，就可以求算整个波动
f
(
r
,
t
)
{\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!}
齐次的电磁波方程的解 [ 编辑 ] 单色正弦平面波的解 [ 编辑 ] 电磁波是横波，电场方向与磁场方向相互垂直，又都垂直于传播方向。 从前面的分析，可以猜到齐次的电磁波方程的单色正弦平面波的解为：
E
~
(
r
,
t
)
=
E
~
0
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {E} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}
B
~
(
r
,
t
)
=
B
~
0
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {B} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}
其中，
E
~
0
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}\,\!}
B
~
0
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}\,\!}
E
~
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}}
B
~
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}}
振幅 向量。
这两个方程显示出正弦平面波的传播方向是
k
{\displaystyle \mathbf {k} \,\!}
k
⋅
E
~
(
r
,
t
)
=
k
⋅
E
~
0
=
0
{\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=0\,\!}
k
⋅
E
~
(
r
,
t
)
=
k
⋅
B
~
0
=
0
{\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}=0\,\!}
电场和磁场垂直于波矢，波动传播的方向。所以，电磁波是横波 。
由于法拉第电磁感应定律 方程(2)，
∇
×
E
~
=
(
∇
e
i
(
k
⋅
r
−
ω
t
)
)
×
E
~
0
=
i
k
×
E
~
=
−
∂
B
~
∂
t
=
i
ω
B
~
{\displaystyle \nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=\left(\nabla e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\right)\times {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=i\mathbf {k} \times {\tilde {\mathbf {E} }}=-{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {B} }}}{\partial t}}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} }}\,\!}
将角频率与波数的色散关系式
ω
=
c
k
{\displaystyle \omega =ck\,\!}
B
~
=
k
ω
×
E
~
=
1
c
k
^
×
E
~
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}={\frac {\mathbf {k} }{\omega }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {1}{c}}{\hat {\mathbf {k} }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}\,\!}
所以，电场与磁场相互垂直于对方；磁场的大小等于电场的大小除以光速。
电磁波谱分解 [ 编辑 ] 电磁波谱 显示出不同种类的电磁波的频率值域和波长值域。可见光谱只占有宽广的电磁波谱的一小部分。由于麦克斯韦方程组在真空里的线性性质，其解答可以分解为一集合的正弦波。将这集合的正弦波的叠加在一起，又可以形成原本的解答。这是傅里叶变换 方法解析微分方程的基础概念。电磁波方程的正弦波解的形式为
E
(
r
,
t
)
=
E
0
cos
(
ω
t
−
k
⋅
r
+
ϕ
0
)
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!}
B
(
r
,
t
)
=
B
0
cos
(
ω
t
−
k
⋅
r
+
ϕ
0
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!}
波矢与角频率的关系为
k
=
|
k
|
=
ω
c
=
2
π
λ
{\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }\,\!}
其中，
λ
{\displaystyle \lambda \,\!}
波长 。
按照波长长短，从长波开始，电磁波可以分类为电能 、无线电波 、微波 、红外线 、可见光 、紫外线 、X-射线 和伽马射线 等等。普通实验使用的光谱仪 就足以分析从2 奈米 到2500 奈米波长的电磁波。使用这种仪器，可以得知物体、气体或甚至恒星的详细物理性质。这是天文物理学 的必备仪器。例如，氢原子 会发射波长为21.12公分的无线电波。
圆柱对称性解 [ 编辑 ] 原柱对称形共轴传输线 如图右，思考一条由半径为
a
{\displaystyle a\,\!}
b
{\displaystyle b\,\!}
共轴传输线 。假设这传输线与z-轴平行。由于共轴传输线的内部有一条直导线，不是空心的，它可以传输
E
z
=
0
{\displaystyle E_{z}=0\,\!}
B
z
=
0
{\displaystyle B_{z}=0\,\!}
圆柱坐标
(
s
,
ϕ
,
z
)
{\displaystyle (s,\phi ,z)\,\!}
[2]
E
(
r
,
t
)
=
E
0
s
cos
(
k
z
−
ω
t
)
s
^
{\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {{\mathbf {E} }_{0}}{s}}\cos(kz-\omega t){\hat {s}}\,\!}
B
(
r
,
t
)
=
E
0
c
s
cos
(
k
z
−
ω
t
)
ϕ
^
{\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}}{cs}}\cos(kz-\omega t){\hat {\phi }}\,\!}
这一组方程显示出电磁波方程的圆柱对称性解的一种形式。
球对称性解 [ 编辑 ] 思考一个位于原点 的振荡中的磁偶极矩
m
=
m
0
cos
(
ω
t
)
{\displaystyle m=m_{0}\cos(\omega t)\,\!}
球坐标
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\phi )\,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
[2]
E
(
r
,
t
)
=
E
0
sin
θ
r
[
cos
(
k
r
−
ω
t
)
−
1
k
r
[
sin
(
k
r
−
ω
t
)
]
ϕ
^
{\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{r}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\phi }}\,\!}
B
(
r
,
t
)
=
−
E
0
sin
θ
c
r
[
cos
(
k
r
−
ω
t
)
−
1
k
r
[
sin
(
k
r
−
ω
t
)
]
θ
^
{\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{cr}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\theta }}\,\!}
这是一组满足电磁波方程的球面波方程。
理论与实验 [ 编辑 ] 应用领域 [ 编辑 ] 参考文献 [ 编辑 ]
Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.) . W. H. Freeman. 2004. ISBN 0-7167-0810-8 Jackson, John D. Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. 1998. ISBN 0-471-30932-X Landau, L. D., The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7 .
Maxwell, James C. A Treatise on Electricity and Magnetism . Dover. 1954. ISBN 0-486-60637-6
![{\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{r}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\phi }}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e418be3f8cb788b42fe000542b47a59516685d1f)
![{\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{cr}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\theta }}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0ad50c26ae352b32d3cec6958bccf9591c89b8)