魔群

魔群（英语：Monster group）或怪兽群，或友善巨人（the Friendly Giant）或费希尔─格里斯怪兽（Fischer-Griess Monster），是一个有限单群，是26个散在群的其中之一，一般常将之记作M或F₁。

怪兽群的阶是26个散在群中最大的，其阶为

	246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
=	808017424794512875886459904961710757005754368000000000
≈	8 · 1053

有限单群的分类已完成(见有限单群分类一文)。每个有限单群都属于当中有的18类可数无限族中，或不包含于那些可系统化模式的18类可数无限族中，那26个的“散单群”中。而怪兽群是那26个散单群中阶数最大的群。而二十六个散单群除了六个，其余的散单群均是怪兽群的子集合。罗伯特‧格里斯(Robert Griess)将那六个不为魔群子集的群称为“低群”(pariahs)，并以“快乐大家族”(the happy family)一词称呼其他的散单群。

或许对怪兽群最好的定义方式，就是将之定义为同时包含康威群(Conway group)和费歇尔群的有限单群中阶最小者（怪兽群虽为散在群中阶最大的，但这不表示它是所有有限单群中阶最大的，其他类的有限单群中有阶比其更大者存在）。

存在性与唯一性

怪兽群的存在性最早在1973年为贝恩德‧费希尔(Bernd Fischer，他未出版相关想法)与罗伯特‧格里斯所预测，他们当时认为存在一个单群，该单群包含子怪兽群中做为某个对合的中心化子的某个双覆盖。数月后，M的阶被格里斯以汤普森阶公式(Thompson order formula)计算出，而费希尔(Fischer)、康威(Conway)、诺顿(Norton)与汤普森(Thompson)等人则发现此群包含了其他的群做为其子商，被包含的群包括了许多已知的散单群，此外他们还发现了两个新的单群：汤普森群和原田-诺顿群。格里斯将怪兽群建构为格里斯代数(一个196884维的交换非结合代数)的自同构群。约翰‧康威(John Horton Conway)和雅魁‧提次(Jacques Tits)随后简化了其建构。

格里斯的建构证明了怪兽群的存在。约翰‧汤普森(John G. Thompson)则说明了其做为阶为此数的单群的唯一性可由一个196883维忠实表示法的存在得出。该表示法的存在性在1982年为西蒙‧诺顿(Simon P. Norton)提出，然而他从未发表此证明的细节。第一个关于怪兽群唯一性的证明则由格里斯、麦尔法兰肯菲尔德(Meierfrankenfeld)和塞格夫(Segev)给出。

月光猜想

怪兽群是康威(Conway)和诺顿(Norton)所提出的怪兽月光理论的两个主要成分之一。此猜想与离散和非离散数学相关，并在1992年为理查‧伯切德斯(Richard Borcherds)所证明。

在此设定下，怪兽群可由怪兽群模组的自同构群示现：亦即由一作用在怪兽李代数上，属广义Kac–Moody代数，且包含Griess代数的无穷维代数的顶点算子代数示现而出。

表示与维度

　　一个忠实的复数表示的最小度数是196,883，它是怪兽群阶数可分得3个因子乘积的分割。当中怪兽群的最小忠实排列表示是 2⁴ · 3⁷ · 5³ · 7⁴ · 11 · 13² · 29 · 41 · 59 · 71 (约 10²⁰)点。他可被视为有理数上的一个伽罗瓦群（Thompson 1984，p. 443）而实现，并视为一个胡尔维兹群(Hurwitz group)（Wilson 2004）。

　　怪兽群在单群中并不平常，因并没有已知的简单规则或方法可表示他的元素，而这并非起因于他大小的表示因素。例如，单群"A"₁₀₀和SL₂₀（2）相对是大，但容易计算，因为它们是具已知的置换或线性表示；交错群具有与之的大小相较下的置换表示，且所有有限单李型式群有线性表示。除了怪物群之外的所有散单群体也具有足够小的线性表示，以至于它们易于在计算机上工作（而难度仅次于怪物群的，为可分割成维度4370的小怪兽群(baby Monster)表示）。

麦凯的E₈观察

怪兽群和扩张登金图(Dynkin diagram)${\tilde {E}}_{8},$亦存在着关系，其关联在图结点与怪兽群同余类之间表现得更明显，此关联又被称作“麦凯的E₈观察”(McKay's E₈ observation)

子群结构

Sporadic Finite Groups Showing (Sporadic) Subgroups

怪兽群包含了至少44个共轭类的极大子群。六十数种同构类型的非交换单群，亦包含在怪兽群中，做为怪兽群的子群或子群的商群。

怪兽群的子群包括了26个散在群中的多数，但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之图是基于马克‧罗南(Mark Ronan)所撰的书《Symmetry and the Monster》的，表明这些散在单群是如何与彼此产生关系的。线段表示下方的群被其上的群所包含，并为其上的群的子商。圈起来的符号，表示该符号所代表的群不被包含于其他更大的散在单群中。为了清楚表明，多余的包含关系在此图中未表示。

• 2.B   对合(involution)的中心化子(Centralizer);包含一Sylow 47-子群的正规化子(normalizer) (47:23) × 2 。
• 2¹⁺²⁴.Co₁   对合的中心化子。
• 3.Fi₂₄  阶数3子群的正规化子;包含一Sylow 29-子群的正规化子((29:14) × 3).2。
• 2².²E₆(2²):S₃   一Klein 4-群的正规化子。
• 2¹⁰⁺¹⁶.O₁₀⁺(2)
• 2^2+11+22.(M₂₄ × S₃)   一Klein 4-群的正规化子; 含一Sylow 23-子群的正规化子(23:11) × S₄。
• 3¹⁺¹².2Suz.2   阶数3子群的正规化子。
• 2^5+10+20.(S₃ × L₅(2))
• S₃ × Th   阶数3子群的正规化子;含一Sylow 31-子群的正规化子(31:15) × S₃ 。
• 2^3+6+12+18.(L₃(2) × 3S₆)
• 3⁸.O₈⁻(3).2₃
• (D₁₀ × HN).2   阶数5子群的正规化子。
• (3²:2 × O₈⁺(3)).S₄
• 3²⁺⁵⁺¹⁰.(M₁₁ × 2S₄)
• 3^3+2+6+6:(L₃(3) × SD₁₆)
• 5¹⁺⁶:2J₂:4   阶数5子群的正规化子。
• (7:3 × He):2   阶数7子群的正规化子。
• (A₅ × A₁₂):2
• 5³⁺³.(2 × L₃(5))
• (A₆ × A₆ × A₆).(2 × S₄)
• (A₅ × U₃(8):3₁):2   含一Sylow 19-子群的正规化子((19:9) × A₅):2 。
• 5²⁺²⁺⁴:(S₃ × GL₂(5))
• (L₃(2) × S₄(4):2).2   含一Sylow 17-子群的正规化子 ((17:8) × L₃(2)).2 。
• 7¹⁺⁴:(3 × 2S₇)   阶数7子群的正规化子。
• (5²:4.2² × U₃(5)).S₃
• (L₂(11) × M₁₂):2   包含阶数11子群的正规化子(11:5 × M₁₂):2 。
• (A₇ × (A₅ × A₅):2²):2
• 5⁴:(3 × 2L₂(25)):2₂
• 7²⁺¹⁺²:GL₂(7)
• M₁₁ × A₆.2²
• (S₅ × S₅ × S₅):S₃
• (L₂(11) × L₂(11)):4
• 13²:2L₂(13).4
• (7²:(3 × 2A₄) × L₂(7)):2
• (13:6 × L₃(3)).2   阶数13子群的正规化子。
• 13¹⁺²:(3 × 4S₄)   阶数13子群的正规化子; 一Sylow 13-子群的正规化子。
• L₂(71)   Holmes & Wilson (2008) 含一Sylow 71-子群的正规化子71:35。
• L₂(59)   Holmes & Wilson (2004) 含一Sylow 59-子群的正规化子59:29。
• 11²:(5 × 2A₅)   Sylow 11-子群的正规化子。
• L₂(41)   Norton & Wilson (2013) 找到此形式的极大子群; 此是由于Zavarnitsine指出一些先前的没有这样的极大子群存在。
• L₂(29):2   Holmes & Wilson (2002)
• 7²:SL₂(7)  一些过去7-局部子群的表中此被意外地忽略了。
• L₂(19):2   Holmes & Wilson (2008)
• 41:40   一Sylow 41-子群的正规化子。

相关条目

• 超级单独素数：魔群阶数的素因数

参照

• 约翰·何顿·康威 and S. P. Norton, Monstrous Moonshine, Bull. London Math. Soc. 11 (1979), no. 3, 308–339.
• 约翰·何顿·康威; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; and Wilson, R. A.: Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. Oxford, England 1985.
• Griess, Robert L., The structure of the monster simple group, Scott, W. Richard; Gross, Fletcher (编), Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ. Utah, Park City, Utah, 1975), Boston, MA: Academic Press: 113–118, 1976, ISBN 978-0-12-633650-4, MR 0399248 
• Griess, Robert L., The friendly giant, Inventiones Mathematicae, 1982, 69 (1): 1–102, ISSN 0020-9910, MR 0671653, doi:10.1007/BF01389186 
• Griess, Robert L; Meierfrankenfeld, Ulrich; Segev, Yoav, A uniqueness proof for the Monster, 数学年刊, 1989, 130 (3): 567–602, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971455, MR 1025167, doi:10.2307/1971455 
• Harada, Koichiro, Mathematics of the Monster, Sugaku Expositions, 2001, 14 (1): 55–71, ISSN 0898-9583, MR 1690763 
• P. E. Holmes and R. A. Wilson, A computer construction of the Monster using 2-local subgroups, J. London Math. Soc. 67 (2003), 346–364.
• Ivanov, A. A., The Monster Group and Majorana Involutions, Cambridge tracts in mathematics 176, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88994-0 
• S. A. Linton, R. A. Parker, P. G. Walsh and R. A. Wilson, Computer construction of the Monster, J. Group Theory 1 (1998), 307–337.
• S. P. Norton, The uniqueness of the Fischer-Griess Monster, Finite groups—coming of age (Montreal, Que., 1982), 271–285, Contemp. Math., 45, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1985.
• M. Ronan, Symmetry and the Monster, Oxford University Press, 2006, ISBN 0-19-280722-6 (concise introduction for the lay reader).
• 马库斯·杜·索托伊, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader; published in the US by HarperCollins as Symmetry, ISBN 978-0-06-078940-4).
• Thompson, John G., Some finite groups which appear as Gal L/K, where K ⊆ Q(μ_n), Journal of Algebra, 1984, 89 (2): 437–499, MR 0751155, doi:10.1016/0021-8693(84)90228-X 
• Robert A. Wilson. The Monster is a Hurwitz group. Journal of Group Theory. 2001-09-11, 4 (4) [2018-04-02]. ISSN 1435-4446. doi:10.1515/jgth.2001.027. （原始内容存档于2016-04-01） （英语）. 

外部链接

• MathWorld: Monster Group （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Atlas of Finite Group Representations: Monster group （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Abstruse Goose: Fischer-Griess Monster （页面存档备份，存于互联网档案馆）