72法则

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金融学上有所谓72法则71法则70法则69.3法则,用作估计将投资倍增或减半所需的时间,反映出的是复利的结果。

计算所需时间时,把与所应用的法则相应的数字,以预料增长率即可。例如:

  • 假设最初投资金额为100元,复息年利率9%,利用“72法则”,将72除以9(增长率),得8,即需约8年时间,投资金额滚存至200元(两倍于100元),而准确需时为8.0432年。
  • 要估计货币购买力减半所需时间,可把与所应用的法则相应的数字,除以通胀率。若通胀率为3.5%,应用“70法则”,每单位之货币的购买力减半的时间约为70/3.5=20年。

数值选择[编辑]

使用72作为分子是因为它有较多因数,容易被整除。它的因数有1、2、3、4、6、8、9和12。不过,视乎增减率及时期,其他数值会较为合适。

一般息率或年期的复利[编辑]

使用72作为分子足够计算一般息率(由6至10%),但对于较高的息率,准确度会降低。

低息率或逐日复利[编辑]

对于低息率或逐日复利,69.3会提供较准确的结果(因为ln(2)约莫等于69.3%,参见下面“原理”)。对于少过6%的计算,使用69.3也会较为准确。

高息率计算的调整[编辑]

对于高息率,较大的分子会较理想,如若要计算20%,以76除之得3.8,与实际数值相差0.002,但以72除之得3.6,与实际值相差0.2。若息率大过10%,使用72的误差介乎2.4%至−14.0%。若计算涉及较大息率(r),以作以下调整:

(近似值)

若计算逐日复息,则可作以下调整:

(近似值)

E-M法则[编辑]

E-M法则对使用69.3或70(但非72)时的计算作出修正,扩大计算的应用范围。如在69.3法则使用E-M修正,计算0-20%的增减率时也会相当准确,就算69.3本来只适合计算0-5%的息率。

E-M法则公式如下:

(近似值)

举个例,若利率为18%,69.3法则得出的将金额倍增的年期为3.85,但通过E-M法则,乘以200/(200-18),得4.23年,较接近实际年期4.19。

Padé近似式(Padé approximant)给出的结果更为准确,但算式则较为复杂:

(近似值)

比较[编辑]

以下表格比较了以上提及各法则的计算结果:

年息 实际年期 72法则 70法则 69.3法则 E-M法则
0.25% 277.605 288.000 280.000 277.200 277.547
0.5% 138.976 144.000 140.000 138.600 138.947
1% 69.661 72.000 70.000 69.300 69.648
2% 35.003 36.000 35.000 34.650 35.000
3% 23.450 24.000 23.333 23.100 23.452
4% 17.673 18.000 17.500 17.325 17.679
5% 14.207 14.400 14.000 13.860 14.215
6% 11.896 12.000 11.667 11.550 11.907
7% 10.245 10.286 10.000 9.900 10.259
8% 9.006 9.000 8.750 8.663 9.023
9% 8.043 8.000 7.778 7.700 8.062
10% 7.273 7.200 7.000 6.930 7.295
11% 6.642 6.545 6.364 6.300 6.667
12% 6.116 6.000 5.833 5.775 6.144
15% 4.959 4.800 4.667 4.620 4.995
18% 4.188 4.000 3.889 3.850 4.231

原理[编辑]

定期复利[编辑]

定期复利的将来值(FV)为:

当中PV现在值t为期数、r为每一期的利率。

当该笔投资倍增,则FV = 2PV。代入上式后,可简化为:

解方程式,t为:

r数值较小,则ln(1+r)约等于r(这是泰勒级数的第一项);加上ln(2) ≈ 0.693147,于是:

连续复利[编辑]

连续复利的计算较为简单:

可得

可得

右项上下乘以100,然后以70作为69.3147的近似值: