切萨罗求和

维基百科,自由的百科全书

切萨罗求和(英语:Cesàro summation)是由义大利的数学家恩纳斯托·切萨罗(Ernesto Cesàro)发明,是计算无穷级数和的方式。若一级数收敛至α,则其切萨罗和存在,其值为 α,而发散级数也可以用切萨罗求和的方式,计算出切萨罗和。

定义[编辑]

令{an}为一数列,且令

为数列前k项的部份和

.

若以下的条件成立,则此数列{an}的切萨罗和存在,且其值为α。

.

格兰迪级数的例子[编辑]

an = (-1)n+1, n ≥ 1。因此{an} 为以下的数列:

其部份和组成的数列 {sn} 为

此数列为格兰迪级数,不会收敛。

而数列 {(s1 + ... + sn)/n} 的各项分别为

n趋近于无限大,切萨罗和为如下极限:

因此,数列 {an} 的切萨罗和为 1/2。

推广[编辑]

切萨罗在1890年发展了更广泛的切萨罗和,表示为(C, n),其中n为非负整数。 (C, 0) 是一般定义下的和,而(C, 1)就是上述的切萨罗和。

n>1时的(C, n) 如下所述: 对于级数Σan, 定义

(上面的指数不表示指数)且定义 Enα 为数列 1 , 0 , 0 , 0 , 0· · · 的 Anα。 则 Σan 的 (C, α) 和则为

若以上数值存在。[1]

这种描述代表初始求和方法的 α 次迭代应用。

相关条目[编辑]

注解[编辑]

  1. ^ Shawyer and Watson pp.16-17

参考文献[编辑]

  • Shawyer, Bruce and Bruce Watson. Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oscford UP. 1994. ISBN 978-0-19-853585-0.