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卢津定理

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卢津(Лузин)定理实分析的定理。约略来说,这定理指可测函数差不多是连续函数

定理叙述

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一维形式

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可测函数,对任何,都存在紧致集,使得,而且f限制到E上是连续函数。此处勒贝格测度

证明

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因为f可测,所以在一个测度任意小的开集以外,f有界函数。在开集上重定义f为0,那么f在[a,b]上有界,因而是可积函数。因为连续函数在可积函数的空间稠密,存在连续函数序列L1范数收敛至f,即。故此有子序列几乎处处收敛至f。从叶戈罗夫定理可知,除了一个测度任意小的开集外,一致收敛f。因为连续函数的一致收敛极限仍是连续的,故此f在此开集外连续。取E为以上两个开集的并集在[a,b]中的补集,那么原本的fE上连续。

多维形式

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上的正则博雷尔测度可测函数X中的可测集,而且,那么对任意X中存在紧致集K,使得,而且f限制到K上是连续函数

证明

首先,对每个正整数i,构造紧致集和在其上的连续函数,使得

且在上有

构造方法如下:

分成两两不交博雷尔集,使得每个集的直径都小于1/i。函数f可测,所以每个集的原像是可测集。令,则X分成两两不交的可测集。

由于是博雷尔正则测度,且,于是限制到X上是拉东测度。由拉东测度的内正则性,在中存在紧致子集,使得

所以全部子集不交并集的测度

因为,可以取足够大的N使得

。有限个紧致集的并集是紧致集,所以紧致。因此满足要求。

j=1,..., N,在中任取一点,并在上定义

因为在上,f的值包含在中,故此f相差小于1/i。而是两两不交的紧致集,故两两间的距离都是正数,所以上是连续函数。因此满足要求。

K是紧致集,并有

函数列K一致收敛f。一致收敛保持函数的连续性,所以fK上连续。

参考

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  • Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.