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完全性 (统计学)

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统计学中, 完全性,又称完备性统计量的一个性质。 从本质上讲,它确保不同的参数值对应的分布是不同的。一个具有完全性的统计量称为完全统计量

定义[编辑]

考虑一个随机变量 ,其概率分布 为参数。称一个统计量 完全的,若对任意可测函数 [1]

如果对所有 都有 ,则 对所有 都成立。

若对上述函数 加上有界的条件,则称该统计量为有界完全的

例子[编辑]

是来自参数为伯努利分布的独立随机样本,其中。统计量的完全统计量。注意到服从参数为二项分布。若有某个,使得都成立,则

,则多项式上恒为0。可知其每一项系数都为0,进而得到。由定义,的完全统计量。

完全性的重要性[编辑]

巴苏定理[编辑]

界完全性出现在巴苏定理中,[2] 它指出任何有界完全且充分的统计量与任何辅助统计量独立。

Bahadur定理[编辑]

有界完全性也出现在Bahadur定理中。 定理指出,当至少存在一个最小充分统计量时,如果一个统计量是充分的并且有界完全的,则它是一个最小充分统计量。

注释[编辑]

  1. ^ Young, G. A. and Smith, R. L. (2005). Essentials of Statistical Inference. (p. 94). Cambridge University Press.
  2. ^ Casella, G. and Berger, R. L. (2001). Statistical Inference. (pp. 287). Duxbury Press.

参考文献[编辑]