18世纪,布丰提出以下问题:设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板(如右图),现在随意抛一支长度比木纹之间距离小的针,求针和其中一条木纹相交的概率。这就是布丰投针问题(又译“蒲丰投针问题”)。
使用积分几何能找到此题的解,并得出一个求π的蒙特·卡罗方法。
设针的长度是
,平行线之间的距离为
,
为针的中心和最近的平行线的距离,
为针和线之间的锐角。
且均匀分布,其机率密度函数为
。
且均匀分布,其机率密度函数为
。
两个随机变数互相独立,因此两者结合的机率密度函数只是两者的积:
![{\displaystyle {\frac {4}{t\pi }}\ (x\in [0,t/2],\theta \in [0,\pi /2])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/886c08ac403feb9b77b8b21082d3c84ef89c1305)
当
,针和线相交,然后对
积分得出所求机率。
要求上式的积分需要分为两种情况:“短针”
以及“长针”
;以下考虑“短针”情况,计算上式积分得针与线相交的机率:

作简单变换可得
,
当抛
支针,其中有
支针与线相交,利用多次重复试验所观察事件发生的频率越来越接近机率的理论值
。
近似可得
Lazzarini的估计[编辑]
1901年意大利数学家Mario Lazzarini尝试进行此实验。他抛了3408次针,得到π的近似值为355/113。
Lazzarini选取了一支长度是纹的距离的5/6的针。在这个情况,针和纹相交的机会是5/(3π)。如果想抛n次针而得到x次相交,π约等于
。分母、分子少于五位数字,没有比355/113更好的π的近似值了。因此,可以列式
,得
。
为求x的值接近这个数,可以重复抛213次针,若有113次是成功的,便可终止实验,宣布这个方法求π值准确度不低;否则,就再抛213次针,希望共有226次成功……这次反复进行实验。Lazzarini做了
次。