布丰投针问题

18世纪，布丰提出以下问题：设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板（如右图），现在随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。这就是布丰投针问题（又译“蒲丰投针问题”）。

使用积分几何能找到此题的解，并得出一个求π的蒙特·卡罗方法。

解法

设针的长度是$\ell$，平行线之间的距离为$t$，$x$为针的中心和最近的平行线的距离，$\theta$为针和线之间的锐角。

$x\in [0,t/2]$且均匀分布，其机率密度函数为${\frac {2}{t}}$。

$\theta \in [0,\pi /2]$且均匀分布，其机率密度函数为${\frac {2}{\pi }}$。

$x,\theta$两个随机变数互相独立，因此两者结合的机率密度函数只是两者的积：

${\frac {4}{t\pi }}\ (x\in [0,t/2],\theta \in [0,\pi /2])$

当$x\leq {\frac {\ell }{2}}\sin \theta$，针和线相交，然后对$x,\theta$积分得出所求机率。

要求上式的积分需要分为两种情况：“短针”$({\ell }\leq t)$以及“长针”$({\ell }>t)$；以下考虑“短针”情况，计算上式积分得针与线相交的机率：

$P=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{(\ell /2)\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2\ell }{t\pi }}$

作简单变换可得$\pi ={\frac {2\ell }{tP}}$,

当抛$n$支针，其中有$h$支针与线相交，利用多次重复试验所观察事件发生的频率越来越接近机率的理论值$P\approx {\frac {h}{n}}$。

近似可得$\pi \approx {\frac {2\ell n}{th}}$

Lazzarini的估计

1901年意大利数学家Mario Lazzarini尝试进行此实验。他抛了3408次针，得到π的近似值为355/113。

Lazzarini选取了一支长度是纹的距离的5/6的针。在这个情况，针和纹相交的机会是5/(3π)。如果想抛n次针而得到x次相交，π约等于$5/3\times n/x$。分母、分子少于五位数字，没有比355/113更好的π的近似值了。因此，可以列式$355/113=5/3\times n/x$，得$x=113n/213$。

为求x的值接近这个数，可以重复抛213次针，若有113次是成功的，便可终止实验，宣布这个方法求π值准确度不低；否则，就再抛213次针，希望共有226次成功……这次反复进行实验。Lazzarini做了$3408=213\times 16$次。