有限单群分类

有限单群的分类是代数学中的一项巨大工程。有关的文章大多发表于1955年至2004年之间，目的在于将所有的有限简单群都给清楚地分类。这项工程总计约有100位作者在500篇期刊文章中写下了上万页的文字。

分类

关于有限单群分类研究的最终成果如下：

定理 —  有限单群分类

所有有限单群都必将会和下列列表之一的群同构：

• 下面三大类(每类都有无限多种)有限单群

1. 质数阶循环群
2. 至少5阶的交替群
3. 李型群

• 26种散在群
• 提次群，有时也被认为是第27种散在群

此一定理在数学的许多分支都有著广泛的应用，例如有关有限群的问题，通常可以归并至有关有限简单群的问题上，再依此一分类即可将问题限于有限个例子的列举。这样就可以简化原问题对于庞大数量的群的证明到有限个群上。

有时提次群会被归类为一种散在群（在此故而有27个散在群），因为严格来说它不是李群。

散在群

散在群中的其中五个是在1860年代中由马提厄（Mathieu）所发现的，而其他的21个则是在1965年至1975年之间被找出来的。有一些此类的群在它们被建构出来前曾被预测其会存在。大多数此类的群是以第一个预测出其存在之数学家来命名的。其完整的列表如下：

• 马蒂厄群 M₁₁、M₁₂、M₂₂、M₂₃、M₂₄
• 扬科群 J₁、J₂(HJ)、J₃(HJM)、J₄
• 康威群 Co₁、Co₂、Co₃
• 费歇尔群 Fi₂₂、Fi₂₃、Fi₂₄(Fi₂₄′)
• 希格曼-西姆斯群 HS
• 麦克劳林群 McL
• 赫尔得群 He(F₇)
• 路多里斯群 Ru
• 铃木散在群 Suz
• 欧南群 O'N
• 原田-诺顿群 HN(F₅)
• 里昂群 Ly
• 汤普森群 Th(F₃)
• 子怪兽群 B(F₂)
• 怪兽群 M(F₁)

对于所有散在群在有限体上的矩阵表示除了怪兽群之外都已经被算出来了。

在26个散在群当中，有20个可以看做是如怪兽群的子群或其子群的商一般地在怪兽群之内。其他6个为J₁、J₃、J₄、O'N、Ru和Ly。这6个群有时会被称为贱民(pariahs)。

直至目前为止，对散在群的一个可信的统一叙述方面的进展还是很少。

对证明仍有的怀疑

因为发表出来的文章的长度及复杂度和实际上有些假设的证明还没有被发表出来，有些人依然对这些文章能否对此定理提供一个完整且正确的证明有所怀疑。让-皮埃尔·塞尔即为对其证明提出怀疑的人之中很有名的一位。这些怀疑被证实是证明中的空白，这些空间都在之后被找了出来且最终被填补了起来。

经过了一个年代的时间，专家们查觉到了一个“严重的空白”（由迈克尔·阿什巴赫 所发现），在Geoff Mason（未发表地）对准薄群的分类上。葛仑斯坦（Gorenstein）在1983年宣称已完成有限简单群的分类，部份基于对准薄群方面的证明已完成的认知上。亚许巴赫在1990年代早期将此一空白填补起来。亚许巴赫和史蒂芬·史密斯发表了两册约有1300页的不同证明。

二代分类证明

因为有限简单群分类的证明过于冗长了，所以有许多被称做“简化”的工作，原本由丹尼尔·戈伦斯坦所领导，在找寻著一个更简单的证明。这即是所谓的二代分类证明。

直到2005年，已有六册第二代分类证明的书籍被发表了出来，还有许多未发布的原稿。亚许巴赫和史密斯的两册提供了可以作用在一代和二代证明上有关准薄群方面的一个证明。预计当新的证明完成之后将会有大约5000页的页数。（需注意的是，较新的证明会以较丰富的形式写出。）至2019年，共有八册证明被发表了出来（1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b）。

葛仑斯坦和其同事给出了一些对于较简单的证明是可能达成的理由。其中最重要的一点是因为现在已经知道了正确且最终的叙述，而所能应用的技术也已足够用来研究这些群。在原本的证明里，没有人知道到底有多少个散在群，且实际上有些散在群还是在试图证明分类定理的过程中被发现出来的，如扬科群，以致于应用了些更普遍的技术。

而且，当时人们对简化方向并不确定，甚至有很长的一段时间内不知道是否真正存在简化的方式。因为原本的证明中有含有许多个单独的完整定理，分类了一些重要的特例。这些定理必须要去分析数个特例来最后得到证明。通常，证明中的大多数的工作都是在做这些特例。但是如果作为一个较大且协调的证明之一部份，这些特例都是可以不需要去理会的，当更强的假设被加上来时即可得到。因此原本的定理在修正后就不再会有那么较小的证明了，但是还是完整的分类。

在简化的证明中，不再有那些需要去理会例子的再细分才有效的单独定理。多个目标的群因此都会有多重的等价。修正后的证明会依靠著不同例子的细分来减少其多馀的部份。 除去对特例的简化，一些新的方法和工具也被应用到简化上，数学家最近使用计算群论和范畴论的理论方法实现迈克尔·阿什巴赫在Fusion Theory提出的简化计划，现在的具体方法是通过MAGMA算法解决较小阶的p群问题。 因为这些工作，有限群论学家将会有更多的经验和更新的技术去研究群的问题。

参考文献

• Michael Aschbacher, The Status of the Classification of the Finite Simple Groups （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 2004年8月美国数学学会上的介绍
• Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon The Classification of the Finite Simple Groups （volume 1） （页面存档备份，存于互联网档案馆），AMS, 1994 （volume 2） （页面存档备份，存于互联网档案馆），AMS,
• Ron Solomon: On Finite Simple Groups and their Classification （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 1995年美国数学学会上的介绍
• Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; and Wilson, R. A.: "Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups." Oxford, England 1985。
• Orders of non abelian simple groups （页面存档备份，存于互联网档案馆）：包含上至一千亿目的所有非可换简单群之列表
• Atlas of Finite Group Representations （页面存档备份，存于互联网档案馆）：包含包括散在群在内的许多有限简单群的表示及他资料

外部链接

• The Periodic Table of Finite Simple Groups （页面存档备份，存于互联网档案馆）