柯里化

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计算机科学中,柯里化英语:Currying),又译为卡瑞化加里化,是把接受多个参数函数变换成接受一个单一参数(最初函数的第一个参数)的函数,并且返回接受余下的参数而且返回结果的新函数的技术。这个技术由克里斯托弗·斯特雷奇以逻辑学家哈斯凯尔·加里命名的,尽管它是Moses Schönfinkel戈特洛布·弗雷格发明的。

在直觉上,柯里化声称“如果你固定某些参数,你将得到接受余下参数的一个函数”。所以对于有两个变量的函数,如果固定了,则得到有一个变量的函数

理论计算机科学中,柯里化提供了在简单的理论模型中,比如:只接受一个单一参数的lambda演算中,研究带有多个参数的函数的方式。

函数柯里化的对偶是Uncurrying,一种使用匿名单参数函数来实现多参数函数的方法。例如:

var foo = function(a) {
  return function(b) {
    return a * a + b * b;
  }
}

这样调用上述函数:(foo(3))(4),或直接foo(3)(4)

动机[编辑]

柯里化是一种处理函数中附有多个参数的方法,并在只允许单一参数的框架中使用这些函数。例如,一些分析技术只能用于具有单一参数的函数。现实中的函数往往有更多的参数。弗雷格表明,为单一参数情况提供解决方案已经足够了,因为可以将具有多个参数的函数转换为一个单参数的函数链。这种转变是现在被称为“柯里化”的过程。

在数学分析或计算机编程中,所有可能遇到的“普通”函数都可以被使用。但是,有些类别不可能使用柯里化;确实允许柯里化的最普通的类别是闭合的monoidal类别。一些编程语言几乎总是使用curried函数来实现多个参数;值得注意的例子是 ML 和 Haskell,在这两种情况下,所有函数都只有一个参数。这个属性是从lambda演算继承而来的,其中多参数的函数通常以柯里形式表示。

柯里化与部份求值是相关的,但不完全相同。在实作中,闭包的编程技术可以用来执行部份求值和一种卷曲,通过将参数隐藏在使用柯里化函数的环境中。

部份求值[编辑]

示例[编辑]

柯里化(Currying)是产生一系列连锁函数的一种方法,其中每个函数只有一个参数。借由另一个柯里化之后的新函数,传回其它剩馀参数的功能,将原本以多个参数应用的函数“隐藏”起来,如下所述。

给定带有 xy两个参数的函数 f,也就是,

然后可以构造一个与原来的 f 相关的新函数 hx。这个函数的形式只有单一参数 y,并给定该参数,则 hx 返回 f(x,y)。也就是,

.

在这里应该了解 h上的下标 x是当成隐藏作用的符号设施,或者说把一个参数放在一边,使原函数变成只带一个参数。柯里化(Currying)提供了符号标记上的技巧,将函数因而抽象化。

这个技巧要利用 map或函数构造子。符号 用于表示抽象化的实际行为。 例如以 这样子来表示:某个函数将一个参数 y映射到结果 z

然后考虑从 hx 记号中删掉下标 x,就得到了一个 柯里化表示的代表符 h; 而成为另一个给予 x 能把其“值”传回的不同函数 hx;它恰好是一个函数构造,其映射过程 可以用 语句来表达,或者描述为一个将参数 y映射到结果 z的函数。也就是,

,

用不同代表符号(但意义相同)来看,

函数 h 本身现在可用 hx 相似的表示,并写成

能够负责并处理对开头涉及的函数参数。鉴于上述情况,柯里化的行为可被理解为一函数,给予某些任意的 f,即涉及相关的 h函数可以产生 h的所述功能;论及 f。也就是,

或相当于

这说明了柯里化的基本性质:它是参数重新定位的机制,将原函数中的每一个参数绑定到不同的新函数,而返回另一个相关的函数。也就是给定函数 f原本传回一个“值”,则柯里化“构造”了一个新函数 h 而传回的是涉及 f的函数。另一种理解柯里化的不同方式,则意识到它只是一个代数游戏,符号的句法重新排列。人们不会问这些符号的“含义”是什么; 一个人只同意他们的重新排列规则。 要看出这一点,注意原来的函数 f本身可能写成

与上面的函数 h互相比较,可以看出这两种形式都重新排列了括号,以及将逗号转换为箭头。回到前面的例子,

然后有,

作为上例柯里化的相等物。 添加一个参数到 g 然后给出

以及

剥除参数的方法或许更容易地理解,例如有四个参数的函数:

经过上述操作,导出为形式

这应用到三元组之上可得到

.

然后适当地写成柯里化形式

一直继续玩著重新安排符号的代数游戏,最终导出了完全的柯里化形式

对箭头运算符一般理解是右结合的,所以上面大部份的括号是多馀的,在意义不变的情况下可以删除掉。因此,写成了很常见的

也就是函数 f完全的柯里化形式。

定义[编辑]

从非形式的一般定义开始,柯里化是最容易理解的,然后再塑造它以适应许多不同的领域。
首先说明一些符号的标记法。

表示从 映射到 的函数

表示从 的所有函数。

这里, 可以是集合、或者是类型,或者它们可以是其它型别的物件,如下所述。

表示有序对,即笛卡尔乘积。

给定类型为 的函数柯里化即构造或创建一个新的函数:

也就是说,取一个类型为 的参数,并返回一个类型为 的函数。Uncarrying则相反。

集合论[编辑]

函数空间[编辑]

代数拓扑[编辑]

域理论[编辑]

Lambda演算[编辑]

型别理论[编辑]

逻辑[编辑]

Curry-Howard下,柯里化和对偶柯里化的存在相当于逻辑定理,因为多元组(型别积, product type)对应于逻辑中的且连接,而函数类型对应于蕴涵

范畴论[编辑]

历史[编辑]

“科里化”一词由克里斯托弗·斯特雷奇创造,以逻辑学家哈斯凯尔·加里命名。另外一个名词 "Schönfinkelisation" 则以Moses Schönfinkel命名。在数学历史中,这个原理可以追溯到1893年戈特洛布·弗雷格的工作。

参见[编辑]