格奥尔格·康托尔

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格奥尔格·康托尔
Georg Cantor2.jpg
出生 格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔
(1845-03-03)1845年3月3日
俄罗斯帝国圣彼得堡
逝世 1918年1月6日(1918-01-06)(72岁)
德意志帝国萨克森省哈雷
居住地 俄罗斯帝国(1845–1856)
德意志帝国(1856–1918)
国籍 德国
母校 苏黎世联邦理工学院
柏林洪堡大学
知名于 集合论
科学生涯
研究领域 数学
机构 哈雷-维滕贝格大学
博士导师 恩斯特·库默尔
卡尔·魏尔斯特拉斯

格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔(德语:Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor,1845年3月3日-1918年1月6日),出生于俄国德国数学家波罗的海德国人)。他创立了现代集合论,是实数系以至整个微积分理论体系的基础,还提出了良序概念的定义;康托尔确定了在两个集合中的成员,其间一对一关系的重要性,定义了无限且有序的集合,并证明了实数比自然数更多。康托尔对这个定理所使用的证明方法,事实上暗示了“无限的无穷” 的存在。他定义了基数和序数及其算术。康托尔很清楚地自知自觉他的成果,富有极浓厚的哲学兴趣。康托尔提出的超越数,最初被当时数学界同侪认为如此反直觉-甚至令人震惊-因而拒绝接受他的理论,且以利奥波德·克罗内克为首的众多数学家长期攻击。克罗内克反对代数数为可数的,而超越数为不可数的证明。

康托尔本身是一位虔诚的路德派,相信这个理论是经由上帝传达给他;但一些基督教神学家认为康托尔的理论,是在挑战神学中只有上帝才具有绝对而唯一的无限性质。康托尔自 1869年任职于德国哈勒大学直到 1918年在哈勒大学附属精神病院逝世;他的抑郁症一直再发的病因,被归咎于当代学界的敌对态度,尽管有人将这些事件解释为,是他本人所患有的情感双极障碍的病征。他所受到的严厉攻击,与后来的赞誉相匹配:在 1904年伦敦皇家学会授予他西尔维斯特奖章,这是皇家学会可授予数学研究者的最高荣誉。

在康托死后数十年,维特根斯坦撰文哀悼昔时学术界指责“集合论是假借通过数学而有害处的方言”的氛围,他认为那是“可笑”和“错误”的“完全无稽之谈”。当代数学家绝大多数接受康托尔的理论,并认为这是数学史上一次重要的变革。大卫·希尔伯特说:“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。”(原文另译:我们屏息敬畏地自知在康托所铺展的天堂里,不会遭逢被驱逐出境的。)

生平[编辑]

青年时期[编辑]

Cantor, around 1870

康托尔,1845年出生于俄国圣彼得堡的商人殖民地,并在城里生活直到他十一岁,他父亲是丹麦商人,母亲是俄国音乐家。他是六个孩子中最年长的一个,被认为是一位杰出的小提琴手。他的祖父弗兰兹伯姆(Franz Böhm, 1788-1846,小提琴家约瑟夫伯姆的兄弟)是俄罗斯帝国管弦乐团的著名音乐家和独奏家。康托尔的父亲曾是圣彼得堡证券交易所的成员;当他生病时,为了寻求 比圣彼得堡更温和的冬天,于 1856年他们全家先迁移到了德国的威斯巴登,然后到了法兰克福。1860年康托尔从达姆施塔特的 Realschule区中学毕业;他在数学方面的学业成绩优异,尤其是三角学。1862年康托尔进入瑞士联邦理工学院。在 1863年 6月他父亲去世后,他继承了丰厚的财产;康托尔将他的学业转移到柏林大学,研习Karl WeierstrassLeopold Kronecker,和 Ernst Kummer的课程。1866年夏天他在哥廷根大学度过了一段时间。格奥尔格康托尔是一个好学生,在 1867年于柏林大学获得了博士学位。

任教及研究生涯[编辑]

康托尔于 1867年在柏林大学提交了关于数论的论文。在柏林女子学校短暂讲授后,康托尔在哈勒大学任职并在那度过了他整个的职业生涯,在 1869年他任职时所提出的数论论文,因而取得了特许任教资格。1874年康托尔与 Vally Guttmann结婚,在他们度过哈尔茨山脉的蜜月期间,康托尔花了很多时间与Richard Dedekind讨论数学,两人结识是因他两年前的瑞士度假时而遇到戴德金。他们育有六个孩子,1886年出生的鲁道夫是他们最小的孩子。尽管他任教职的薪酬很低,但康托尔能 负担这人口众多的家庭生计支出,要归功于他父亲的优渥遗产。康托尔在 1872年升任副教授,并在他三十四岁时(1879年)就成为教授,是一个显著的功名;但康托尔希望在德国柏林更有声望的领先大学中,担任主席;然而他的研究工作成果遭遇了太多的反对,每当康托尔在柏林申请更高阶的职位,他都被拒绝了。通常是因当时克罗内克有异议的关系,使其所望难以实现。所以康托尔相信因为克罗内克的反对立场,会让他无法离开哈勒。1881年康托尔的同事爱德华海涅去世,产生了一个主席空缺。哈勒大学采纳康托尔的提议,将主席此一职位依序提供给戴德金、Heinrich M. Weber 或是Franz Mertens 这三位,但他们全都拒绝了;这个职位最终任命给 Friedrich Heinrich Albert Wangerin,但他从来没有接近过康托尔。1882年康托尔和戴德金之间通信联系的数学关系告一段落,显然是由于戴德金拒绝了哈勒大学的主席一职。

在 1884年5月康托尔遭受了自身抑郁症的第一次发作。对他工作的批评让他头脑昏沉:他在 1884年写给 Mittag-Leffler 的52封信,每封信中都提到克罗内克,其中一段内文揭漏了他自信心所受到的残害:

......我不知道何时会回到岗位上继续我的研究。此刻我无能为力,并将我自己限制在论文中最必要的责任上;如果我心智精神能有新鲜的感觉,我能比较快乐地参与学界的活动。

此后康托尔康复,随后作出了进一步的重要贡献,包括他的对角论证和定理。1889年康托尔成立了德国数学学会,并于 1891年在哈勒大学主持了首次会议,在那里他首先介绍了他发明的对角线论证法;尽管克罗内克反对他的工作,但此时他的声誉已足够强大到确保当选,为这个学术社群的第一任主席。他最终撇开了克罗内克对他的敌意,并寻求与克罗内克的和解,康托尔邀请他在会上发言,但克罗内克却因为妻子因当时的滑雪事故中死亡而无法出席。而即使克罗内克在 1891年 12月 29日去世之后,康托尔也再达不到其于 1874-84年发表论文的卓越水准。分裂它们的哲学分歧和困难依旧存在。康托尔在 1897年在瑞士苏黎世举行的第一届国际数学家大会中也发挥了重要作用。

晚年时期[编辑]

康托尔的后半生受到躁郁症的严重影响工作,他不得不经常入院治疗。根据后来他发表的论文推测,他患的可能是躁郁症。他曾写了一篇验证1000以下的歌德巴赫猜想的论文,其实几十年前已经有人验证到了10000。他又发表了几篇文学方面的论文,试图证明弗兰西斯·培根其实是莎士比亚作品的真正作者。以及神学方面的论文,企图证明绝对无穷的概念即是上帝。第一次世界大战期间,他陷于赤贫状态,最后死于哈雷大学的精神病院。

数学领域上的成就[编辑]

康托尔在 1874至1884 这十年间的研究成果,是集合论的起源。在此之前追溯已往到亚里斯多德时代,数学领域中的集合,从最初就隐含地使用了相当原始的集合概念。没有人意识到集合这个概念中,有任何未深入研讨的内容。在康托尔之前的集合概念,只区分为一般人直觉上容易理解的有限集合,而所谓的“无穷”集合被认为是哲学而非数学研讨的命题。康托尔证明无穷集合存在著许多可能的大小,而扩展了数学领域中对于集合概念,其真实涵义的研讨。

集合论已经发挥了现代数学基础理论的作用,因为它明确定义并解释了,几乎所有的传统数学领域(如代数,分析和拓扑)中的数学对象(例如数系和函数)的命题;根据康托尔所建立起的这一套集合理论,提供了标准的公理来证明或反证它们。因此集合论的基本概念,现在被应用在整个数学领域中。在他最早的一篇论文中,康托尔证明了实数系集合和自然数集合,在大小比较上实数系要“多更多了”;这首次表明即使两个元素都是无穷的集合,在大小上仍然会存在有不同的组合;他也是第一个理解集合论中的一对一对应关系(以下称为“一一对应关系”)的重要性的人。他用这种概念来定义有限和无穷集合,将后者再区分为可数的(或可数无穷)以及 非可数的无穷集合。

康托尔发展了拓扑中的重要概念,其与基数的关系。例如,他表明康托尔集合(Cantor set)不是密集的,而与实数系集合一样具有相同的基数,而有理数的集合是密集而且可数的。他还表明了线性稠密可数的、而没有终点的序,和有理数集合是同构的。康托尔介绍了集合论的基本结构,如集合的幂集,是对于集合其中所有元素,各种组合而构成的一个子集。他后来证明了即使 属于无穷集合, 的幂集大小,也将会是严格大于 的大小,这个结果很快就被称为康托尔定理。康托尔发展了整套的集合论和无穷集合的算术,称为基数和序数,它扩充了自然数的算术。他对基数的标记符号是希伯来文 与自然数下标;对于标示序的符号他采用了希腊字母 ω。这个符号表示法目前数学界仍在使用。

康托尔的连续统(Continuum)假说,是 1900年巴黎数学家国际会议,大卫·希尔伯特提出23个尚无证明命题的第一个。康托尔的研究成果也吸引了其它人的关注。美国哲学家皮尔士赞扬他的集合论;而在 1897年苏黎世举行的第一届国际数学家会,康托尔发表的公开讲座之后,Hurwitz 和 Hadamard 也都表示了钦佩。在那次大会上康托尔重新与戴德金交换了友谊和信件。自 1905年起康托尔与英国翻译家菲利普朱尔丹就集合论的历史,和康托尔的宗教思想,进行了对谈,这些对谈后来集成出版为康托尔的讲述作品。


数论,三角级数和序数[编辑]

康托尔的前十篇论文题目是关于数论。在哈勒大学教授爱德华海涅的建议下,康托转向分析。海涅提出了困惑著Peter Gustav Lejeune DirichletRudolf LipschitzBernhard Riemann和海涅自己的问题:如何呈现三角级数的建构函数的唯一性质?康托尔在 1869年解决了这个难题,而在研究这个三角级数唯一定理的时候,他发现了超限序数,出现在对于三角级数的集合S,其下标为n的第n个索引的导出集合 Sn之中。

1870 至 1872年之间康托尔发表了更多关于三角函数的论文,并且还将无理数定义为有理数的收敛序列。戴德金引用了这篇论文,并在他的论文中首次提出了戴德金切割的实数定义。即使康托尔革命性地以无限基数的概念来扩大集合概念的同时,他却自相矛盾地反对同期数学分析学者 Otto Stolz 和 Paul du Bois-Reymond 的无限小理论;康托尔还发表了一个错误的“证明”,试图证明无穷小量的不一致性。

集合论[编辑]

An illustration of Cantor's diagonal argument for the existence of uncountable sets.[1] The sequence at the bottom cannot occur anywhere in the infinite list of sequences above.

一一对应和对角线证明方法[编辑]

康托尔提出了通过一一对应的方法对无限集合的大小进行比较,并将能够彼此建立一一对应的集合称为等势,即可以被认为是“一样大”的。他引入了可数无穷的概念,用来指与自然数集合等势的集合,并证明了有理数集合是可数无穷,而实数集合不是可数无穷,这表明无穷集合的确存在着不同的大小,他称与实数等势(从而不是可数无穷)的集合为不可数无穷。原始证明发表于 1874年,这个证明使用了较为复杂的归纳反证法。1891年他用对角线法重新证明了这个定理。另外,他证明了代数数集合是可数集,以及 维空间与一维空间之间存在一一对应。在上述理论的基础上,康托尔又系统地研究了序数理论,提出了良序定理,即可以给任何集合内的所有元素定义一个大小关系,使得任意两个元素都可以比较大小,且该集合的任意子集都有最小元素。

连续统假设[编辑]

康托尔晚年致力于证明他自己提出的连续统假设,即任意实数的无穷集合或者是可数无穷或者是不可数无穷,二者必居其一,但没有成功。

绝对无限的,有序的定理和悖论[编辑]

哲学,宗教和康托尔的数学[编辑]

参见[编辑]

  1. ^ This follows closely the first part of Cantor's 1891 paper.