模曲线

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代数几何数论领域,模曲线是一类紧黎曼曲面,同时也是定义于某数域上的射影代数曲线。模曲线是当代数论、表示理论及代数几何中重要的课题。

“模曲线”一词源于以下事实:模曲线参数化了一族椭圆曲线,因而是一种模空间志村簇是模曲线在高维度的类比。

定义[编辑]

考虑上半平面 。取 模群 的有限指数子群之商,所得到的未必是紧致空间。作完备化后便得到模曲线。可以证明模曲线必然是 上的平滑代数曲线;从复分析角度来看,便是紧黎曼曲面。

例子[编辑]

对正整数 ,定义同馀子群

相应的模曲线记为 ,也称为古典模曲线。除了完备化添加的尖点外,其复值点一一对应于下述资料的同构等价类:

是复椭圆曲线、-挠点。

时,亏格等于零,否则其亏格则是

模形式可理解为 上某族线丛的截面。此时可以用几何方式研究赫克算子,因为它们由模曲线之间的对应给出。

外部链接[编辑]