欧拉函数

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
n为1至1000的整数时的值

数论中,对正整数n欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为φ函数(由高斯所命名)或是欧拉总计函数[1](totient function,由西尔维斯特所命名)。

例如,因为1,3,5,7均和8互质。

欧拉函数实际上是模n同余类所构成的乘法(即环的所有单位元组成的乘法群)的。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。

历史:欧拉函数与费马小定理[编辑]

1736年,欧拉证明了费马小定理[2]

假若 为质数, 为任意正整数,那么 可被 整除。

然后欧拉予以一般化:

假若 互质,那么 可被 整除。亦即,

其中 即为欧拉总计函数。如果 为质数,那么 ,因此,有高斯的版本[3]

假若 为质数, 互质( 不是 的倍数),那么

欧拉函数的值[编辑]

(小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身)。

n质数pk,因为除了p倍数外,其他数都跟n互质。

欧拉函数是积性函数,即是说若m,n互质,。证明:设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集,据中国剩馀定理可建立双射(一一对应)的关系。(或者也可以从初等代数角度给出欧拉函数积性的简单证明) 因此的值使用算术基本定理便知,

其中是使得整除的最大整数(这里)。

例如

性质[编辑]

n的欧拉函数 也是循环群 Cn生成元的个数(也是n分圆多项式的次数)。Cn 中每个元素都能生成 Cn 的一个子群,即必然是某个子群的生成元。而且按照定义,不同的子群不可能有相同的生成元。此外, Cn 的所有子群都具有 Cd 的形式,其中d整除n(记作d | n)。因此只要考察n的所有因数d,将 Cd 的生成元个数相加,就将得到 Cn 的元素总个数:n。也就是说:

其中的dn的正约数。

运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和,就可以得到另一个关于的公式:

其中 μ 是所谓的默比乌斯函数,定义在正整数上。

对任何两个互质的正整数a, m(即 gcd(a,m) = 1),,有

欧拉定理

这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出,因为任意与m互质的a都属于环 的单位元组成的乘法群

m质数p时,此式则为:

费马小定理

生成函数[编辑]

以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质:

(n)生成的狄利克雷级数是:

其中ζ(s)是黎曼ζ函数。推导过程如下:

使用开始时的等式,就得到:
于是

欧拉函数生成的朗贝级数如下:

其对于满足 |q|<1 的q收敛

推导如下:

后者等价于:

欧拉函数的走势[编辑]

随着n变大,估计 的值是一件很难的事。当n为质数时,,但有时又与n差得很远。

n足够大时,有估计:

对每个 ε > 0,都有n > N(ε)使得

如果考虑比值:

由以上已经提到的公式,可以得到其值等于类似的项的乘积。因此,使比值小的n将是两两不同的质数的乘积。由素数定理可以知道,常数 ε 可以被替换为:

就平均值的意义上来说是与n很相近的,因为:

其中的O表示大O符号。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ..., n} 中随机选取两个数,则当n趋于无穷大时,它们互质的概率趋于 。一个相关的结果是比值的平均值:

其他与欧拉函数有关的等式[编辑]

  1. 使得
  2. 使得

与欧拉函数有关的不等式[编辑]

  1. ,其中n > 2,γ 为欧拉-马歇罗尼常数
  2. ,其中n > 0。
  3. 对整数n > 6,
  4. n为质数时,显然有。对于合数n,则有:

参考来源[编辑]

  • Milton Abramowitz、Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications , New York. ISBN 0-486-61272-4. 24.3.2节.
  • Eric Bach、Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory, 卷 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, 8.8节,234页.
  • 柯召,孙琦:数论讲义(上册),第二版,高等教育出版社,2001

文献来源[编辑]

  1. ^ Where does the word “totient” come from?
  2. ^ Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, 第 2 卷,p.608
  3. ^ Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, 第 3 卷,p.814