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归一条件

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量子力学里,表达粒子量子态波函数必须满足归一条件归一化,或规范化,英语:be normalized),也就是说,在空间内,找到粒子的机率必须等于 。这性质称为归一性。用数学公式表达,

 ;

其中, 是粒子的位置, 是波函数。

归一化导引

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一般而言,波函数 是一个复函数。可是, 是一个实函数,大于或等于 ,称为“机率密度函数”。所以,在区域 内,找到粒子的机率

(1)

既然粒子存在于空间,机率是 。所以,积分于整个一维空间:

(2)

假若,从解析薛丁格方程而得到的波函数 ,其机率 是有限的,但不等于 ,则可以将波函数 乘以一个常数,使机率 等于 。或者,假若波函数内,已经有一个任意常数,可以设定这任意常数的值,使机率 等于

实例

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在一维空间内,束缚于区域 内的一个粒子,其波函数是

其中,波数角频率 是任意常数。

计算能够使波函数归一化的常数值 。将波函数代入:

积分于整个粒子存在的区域:

稍加运算,

归一化的波函数是:

薛丁格方程的形式不变

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薛丁格方程为

其中,约化普朗克常数位势能量

将波函数 归一化为 。则薛丁格方程成为

薛丁格方程的形式不变。对于归一化,薛丁格方程是个不变式,因为薛丁格方程是个线性微分方程式

一个表达粒子量子态的波函数,必须满足粒子的薛丁格方程。既然 都能够满足同样的薛丁格方程,它们必定都表达同样的量子态。假若不使用归一化的波函数,则只能知道机率的相对大小;否则,使用归一化的波函数,可以知道绝对的机率。这对于量子问题的解析,会提供许多便利。

归一化恒定性

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给予一个归一化的波函数.随著时间的变化,波函数也会改变.假若,随著时间改变的波函数不再满足归一条件,则势必要重新将波函数归一化.这样,归一常数 变得含时间.很幸运地,满足薛丁格方程的波函数的归一性是恒定的.设定波函数 满足薛丁格方程与归一条件:

假若,归一性是恒定的,则机率 不含时间。为了显示这一点,先计算

展开被积函数

编排薛丁格方程,可以得到波函数 对于时间的偏导数:

共轭波函数 对于时间的偏导数为

代入被积函数

代入 的方程式:

可是,在 都等于 0 .所以,

机率 不含时间。波函数的归一化是恒定的。

参考文献

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  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7. 

参阅

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外部链接

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