罗素悖论

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罗素悖论英语:Russell's paradox),也称为理发师悖论,是英国哲学家罗素于1901年提出的悖论,一个关于的内涵问题。罗素悖论当时的提出,造成了第三次数学危机

罗素悖论[编辑]

我们通常希望:任给一个性质,满足该性质的所有集合总可以组成一个集合。但这样的企图将导致悖论:

罗素悖论:设有一性质P(EX:"年满三十岁"就是一个性质),并立以一性质函数P(x),且其中的自变量x有此特性:“x∉{P(x)}”,

现假设由性质P能够确定一个满足性质P的集合A——也就是说“A={x|x ∉ A}”。那么现在的问题是:A∈A是否成立?

首先,若A∈A,则A是A的元素,那么A不具有性质P,由命题函数P可以得知A∉A;

其次,若A∉A,根据定义,A是由所有满足性质P的类组成,也就是说,A具有性质P,所以A∈A。

罗素悖论还有一些更为通俗的描述,如理发师悖论书目悖论。但理发师悖论被一些人认为只是罗素悖论的一种描述方式,仅以理发师悖论并无法完全叙述罗素悖论。

罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

理发师悖论和罗素悖论等价[编辑]

理发师悖论和罗素悖论是等价的:

因为,如果把每个人看成一个集合,这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么,理发师宣称,他的元素,都是城里不属于自身的那些集合,并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

另一种等价的悖论为书目悖论,第一类的目录有它自己的条目,经典的例子就是维基百科,第二类的书目录则没有它自己的条目,一般的书目都是如此,问:若把所有第二类的书做个总目录,它应不应该含有它自己的条目?

参考条目[编辑]