处处不连续函数

处处不连续函数是一数学名词，是指在其定义域上的每一点都不连续的函数。若f(x)为一函数，定义域和值域都是实数，若针对每一个x，都存在ε > 0 ，使得针对每一个δ > 0，都可以找到y，使下式成立，则f(x)为处处不连续函数：

0< |x − y| < δ 且|f(x) − f(y)| ≥ ε

换句话说，不论距固定点多近，都有距固定点更近的点使函数的值偏离固定点对应的值。例如狄利克雷函数就是一个处处不连续函数。

若将定义中的绝对值改为度量空间中的距离或是拓扑空间中的类似名词．即可定义更泛用的处处不连续函数。

狄利克雷函数

主条目：狄利克雷函数

狄利克雷函数（英语：Dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为$\{0,1\}$的不连续函数。

当

1. 自变量$x$为有理数时，$f(x)=1$；
2. 自变量$x$为无理数时，$f(x)=0$。

超实数特性

一实数函数f为处处不连续，若其超实数延伸有以下的特性：每一个无限接近一个x都有一个无限接近的点y，使得距离f(x)-f(y)不是无穷小量。

相关条目

• Thomae函数：在无理数下连续，但在有理数下不连续的函数。
• 魏尔斯特拉斯函数：一个处处连续，但处处不可微分的函数。

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Dirichlet-function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Dirichlet Function — from MathWorld （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Modified Dirichlet Function by George Beck, The Wolfram Demonstrations Project.