# 豪斯多夫维数

## 通俗的描述

${\displaystyle N(R)\sim {\frac {1}{R^{d}}}}$

R趋向于0时，我们得到

${\displaystyle d=-\lim _{R\rightarrow 0}\log _{R}N}$

1. 正方形：一个正方形由9个长宽都只有它三分之一的小正方形组成，那么${\displaystyle d=\log _{3}9=2}$
2. 科赫曲线：科赫曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的形状相同的小曲线组成，那么它的豪斯多夫维数为${\displaystyle d=\log _{3}4=1.26185950714...}$，是一个无理数。
动画描述的是科赫曲线的第一到第六次迭代。

## 严格的定义

${\displaystyle H_{\delta }^{d}(E)=\inf {\Bigl \{}\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} \;U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq E,\,\operatorname {diam} \;U_{i}<\delta {\Bigr \}}.}$

${\displaystyle H^{d}(E)=\lim _{\delta \rightarrow 0}H_{\delta }^{d}(E).}$

${\displaystyle \mathrm {dim} _{H}(E)=\inf\{s:H^{s}(E)=0\}=\sup\{s:H^{s}(E)=\infty \}}$

## 郝斯多夫维数的性质

### 联集或积的维度

${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}X_{i}}$可数个集合的联集，则

${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }(X)=\sup _{i\in I}\dim _{\operatorname {Haus} }(X_{i}).}$

${\displaystyle \dim _{\operatorname {Haus} }(X\times Y)\geq \dim _{\operatorname {Haus} }(X)+\dim _{\operatorname {Haus} }(Y).}$

## 自相似集的维数

${\displaystyle \psi _{i}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n},\quad i=1,\dots ,m}$

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(A),}$
${\displaystyle H^{s}\left(\psi _{i}(E)\cap \psi _{j}(E)\right)=0,\quad 1\leq i

### 开集条件

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}\psi _{i}(V)\subseteq V,}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}^{s}=1.}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)^{s}+\left({\frac {1}{3}}\right)^{s}=1,}$

## 参考资料

1. ^ Marstrand, J. M. The dimension of Cartesian product sets. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1954, 50 (3): 198–202. Bibcode:1954PCPS...50..198M. doi:10.1017/S0305004100029236.
2. ^ Falconer, Kenneth J. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. 2003.
3. ^ Falconer, K. J. Theorem 8.3. The Geometry of Fractal Sets. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1985. ISBN 0-521-25694-1.
4. ^ Hutchinson, John E. Fractals and self similarity. Indiana Univ. Math. J. 1981, 30 (5): 713–747. doi:10.1512/iumj.1981.30.30055.