黎曼-斯蒂尔杰斯积分

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黎曼-斯蒂尔杰斯积分(英语:Riemann-Stieltjes integral)是一种积分,它是黎曼积分的一种推广。

黎曼-斯蒂尔杰斯积分有数种定义方式,但不是每种定义方式都是彼此等价的。

定义[编辑]

和黎曼积分一样,黎曼-斯蒂尔杰斯积分的定义依赖对区间分割的定义。

区间的分割[编辑]

一个闭区间的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列。每个闭区间叫做一个子区间。定义 为这些子区间长度的最大值:,其中

再定义取样分割。一个闭区间的一个取样分割是指在进行分割后,于每一个子区间中取出一点 的定义同上。

精细化分割:设以及构成了闭区间的一个取样分割,是另一个分割。如果对于任意,都存在使得,并存在使得,那么就把分割:称作分割的一个精细化分割。简单来说,就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。(即是说“设是闭区间的一个分割,若分割是分割的一个精细化分割,则,也就是说,分割是分割的子集”)

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系,称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割,就说前者比后者更“精细”。

黎曼-斯蒂尔杰斯和[编辑]

对一个在闭区间有定义的实值函数关于取样分割黎曼-斯蒂尔杰斯和定义为以下和式:

和式中的表示,故

黎曼-斯蒂尔杰斯积分[编辑]

当注意的是。这两个定义在黎曼-斯蒂尔杰斯积分的情况下,并不完全等价,以第一种定义可推出其存在的积分,必能以第二种定义推出其存在,但以第二种定义方式可推出其存在的积分不一定能以第一种定义的方式来计算。

第一种定义[编辑]

是函数在闭区间上对函数的黎曼-斯蒂尔杰斯积分,当且仅当对于任意的,都存在,使得对于任意的取样分割,只要它的子区间长度最大值 ,就有:

第二种定义[编辑]

是函数在闭区间上对函数的黎曼-斯蒂尔杰斯积分,当且仅当对于任意的,都存在一个取样分割,使得对于任何比其“精细”的分割,都有:

若一个函数在闭区间上对函数的黎曼-斯蒂尔杰斯积分存在,且值为,则可写作

黎曼积分间的关联[编辑]

若g(x) = x时,在闭区间上对函数的黎曼-斯蒂尔杰斯积分即为在闭区间上的黎曼积分,故从黎曼-斯蒂尔杰斯积分可引出黎曼积分。

可微且其对微分后的函数在闭区间连续,则在闭区间上对函数的黎曼-斯蒂尔杰斯积分与黎曼积分相等

参考文献[编辑]

  • Mathematical Analysis seond edition, Tom M. Apostol,Pearson Education Taiwan Ltd.

参见[编辑]