在维基百科:知识问答/存档/结构式讨论的话题

令$n!=2^{a}\times b$，其中n是2以上的整數，a是正整數，b是奇數，請問$\lim _{n\to \infty }{\frac {a}{n}}$是否存在？若存在，其值是多少？為什麼？

附註：

5000!=2⁴⁹⁹⁵*某個奇數

6000!=2⁵⁹⁹³*某個奇數

7000!=2⁶⁹⁹³*某個奇數

8000!=2⁷⁹⁹⁴*某個奇數

9000!=2⁸⁹⁹⁵*某個奇數

10000!=2⁹⁹⁹⁵*某個奇數

存在，是1。

先考虑2的整数倍，再考虑4的整数倍，再考虑8的整数倍，以此类推，$a$可以写成如下形式：

$a=\sum _{i=1}^{\lfloor \log _{2}n\rfloor }\lfloor {\frac {n}{2^{i}}}\rfloor$。

方便起见，记$t=\lfloor \log _{2}n\rfloor ,\ m=2^{t}$，即$m$为最大的不超过$n$的2的整数指数幂。于是容易看出${\frac {a}{n}}$的上下界：

${\frac {a}{n}}\leq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{t}{\frac {n}{2^{i}}}={\frac {m-1}{m}}$，

${\frac {a}{n}}\geq {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{t}\left({\frac {n}{2^{i}}}-1\right)={\frac {m-1}{m}}-{\frac {t}{n}}$。

其中，${\frac {t}{n}}$的上下界为：

${\frac {t}{n}}\leq {\frac {\log _{2}n}{n}}$，

${\frac {t}{n}}\geq 0$，

其$n\rightarrow \infty$的极限均为零，根据夹逼定理，${\frac {t}{n}}$的极限是零。而${\frac {m-1}{m}}$的极限是1，所以${\frac {a}{n}}$的上下界极限均为1，再用一次夹逼定理即知其极限存在且为1。