克萊因四元群

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數學上,克萊因(Klein)四元群,得名自菲利克斯·克萊因,是最小的非循環群。它有4個元素,除單位元外其階均為2。

克萊因四元群通常以V表示(來自德文的四元群Vierergruppe)。它是阿貝爾群,同構於,就是2階的循環群與自身的直積。它也同構於4階的二面體群

結構[編輯]

若把克萊因四元群記作V = { 0, e, f, g },其運算為加法"+",那麼以下為其運算表:

+ 0 e f g
0 0 e f g
e e 0 g f
f f g 0 e
g g f e 0

這運算是對合的:∀ xV , x + x = 0。

克萊因四元群可擴展為有限域,稱為克萊因域,加入乘法為第二個運算,以0為零元,e為單位元。乘法與加法符合分配律。乘法表為:

x 0 e f g
0 0 0 0 0
e 0 e f g
f 0 f g e
g 0 g e f

克萊因四元群是下圖自同構群。

克萊因四元群3個階2的元之間的對稱性,可以從它在4點上的置換表示看出:

V = < (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >

在這表示中,V是交錯群A4正規子群,也是4個字母上的對稱群S4的正規子群。根據伽羅瓦理論,克萊因四元群的存在,而且還具有這特別的表示,解釋了四次方程可以用根式求解的原因。