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判別式

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一元二次多項式的判別式 與其函數圖像之間的關係

判別式代數學中的概念。一個係數係數多項式判別式是一個與之相關的表達式。判別式等於零當且僅當多項式有重根

當多項式的係數不是實數或複數時,同樣有判別式的概念。判別式總是係數域中的元素。這時,判別式為零當且僅當多項式在它的分裂域中有重根。判別式的通常形式為:

其中的是多項式的最高次項係數,是多項式在某個分裂域中的根(如有重根的按重數重複排列)。

判別式的概念也被推廣到了多項式以外的其它代數結構,比如說圓錐曲線二次型代數數域中。在代數數論中,判別式與所謂的「分歧」的概念緊密相關。實際上,愈為幾何的分歧類型對應着愈為抽象的判別式類型,因此在許多方面判別式都是一個中心概念。判別式在本質上表現為相應行列式的計算。

定義[編輯]

二次方程的判別式[編輯]

最簡單的判別式情形出現在二次多項式方程的求解中。假設有二次多項式方程,其中係數實數,則它的判別式定義為:

判別式也是一個實數。如果設方程的兩個根為,那麼根據二次方程的求根公式,兩個根可以表示為:

方程的根與判別式的關係為:

兩個根都是實數,當且僅當判別式大於等於零。當且僅當兩根相等時,判別式等於零。如果判別式小於零,則兩根是共軛複數

三次方程的判別式[編輯]

  • 三次多項式的判別式是

四次方程的判別式[編輯]

  • 四次多項式的判別式是:


  • 二次項係數為零的首一三次多項式的判別式是:

二次判別式[編輯]

二次多項式的判別式是。在一元二次方程的求解中,判別式用來判斷方程根的情況,並出現在根的表達式中。

  • 如果,那麼有兩個相異實根,即的圖像穿過軸兩次。
  • 如果,那麼有兩個相等實根的圖像與相切
  • 如果,那麼沒有實根,即的圖像與軸沒有交點。

一般多項式的判別式[編輯]

對於一般的一個多項式

其判別式等於(差一個係數)以下的矩陣行列式(見西爾維斯特矩陣):

這個矩陣的行列式稱為結式,記為的判別式由以下公式給出:

.

例如,在的情況下,以上的行列式是:

這個四次多項式的判別式就是這個行列式除以

作為等價條件,多項式的判別式等於:

其中是多項式根(重根按重數計算):

在這個表達式中可以清楚地看到有重根當且僅當判別式為零。

多項式的判別式可以在任意的中定義,定義方式一樣。帶有根的表達式仍然有效,只是根要在係數域的某個分裂域中取。

圓錐曲線的判別式[編輯]

對於以下多項式所定義的圓錐曲線

它的判別式為:

它決定了圓錐曲線的形狀。如果判別式小於0,則是橢圓。如果判別式等於0,則是一條拋物線。如果大於0,則是雙曲線。這個公式不適用於退化的情形(當這個多項式可以因式分解時)。

二次型的判別式[編輯]

判別式的概念可以推廣到任意特徵不為2的域K上的二次型Q上。一個化簡後的二次型可以表示為一系列的平方和:

其中Lin個變量的線性組合。這時可以定義Q的判別式為所有ai的乘積。另外一個定義是Q所對應的矩陣的行列式

代數數域的判別式[編輯]

參見[編輯]

參考資料與外部連結[編輯]