包絡線

建立曲線族的包絡線。

包絡線（Envelope）是幾何學裡的概念，代表一條曲線與某個曲線族中的每條線都有至少一點相切。（曲線族即一些曲線的無窮集，它們有一些特定的關係。）

設一個曲線族的每條曲線$C_{s}$可表示為$t\mapsto (x(s,t),y(s,t))$，其中$s$是曲線族的參數，$t$是特定曲線的參數。若包絡線存在，它是由$s\mapsto (x(s,h(s)),y(s,h(s)))$得出，其中$h(s)$以以下的方程求得：

${\frac {\partial y}{\partial h}}{\frac {\partial x}{\partial s}}={\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial x}{\partial h}}$

若曲線族以隱函數形式 $F(x,y,s)=0$ 表示，其包絡線的隱方程，便是以下面兩個方程消去$s$得出。

${\begin{cases}F(x,y,s)=0\\{\frac {\partial F(x,y,s)}{\partial s}}=0\end{cases}}$

繡曲線是包絡線的例子。直線族$(A-s)x+sy=(A-s)(s)$（其中$A$是常數，$s$是直線族的變數）的包絡線為拋物線。[1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

證明

設曲線族的每條曲線$C_{s}$為$t\mapsto (x(s,t),y(s,t))$。

設存在包絡線。由於包絡線的每點都與曲線族的其中一條曲線的其中一點相切，對於任意的$s$，設$(x(s,h(s)),y(s,h(s)))$表示$C_{s}$和包絡線相切的那點。由此式可見，$s$是包絡線的變數。要求出包絡線，就即要求出$h(s)$。

在$C_{s}$的切向量為$<{\frac {\partial x}{\partial t}},{\frac {\partial y}{\partial t}}>$，其中$t=h(s)$。

在E的切向量為$<{\frac {dx}{ds}},{\frac {dy}{ds}}>$。因為$x$是$s$和$t$的函數，而此處$t=h(s)$，局部求導有：

${\frac {dx}{ds}}={\frac {\partial x}{\partial h}}{\frac {dh}{ds}}+{\frac {\partial x}{\partial s}}{\frac {ds}{ds}}={\frac {\partial x}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s}}$

類似地得 ${\frac {dy}{ds}}={\frac {\partial y}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial y}{\partial s}}$。

因為$E$和$C_{s}$在該點相切，因此其切向量應平行，故有

${\frac {\partial x}{\partial t}}=\lambda ({\frac {\partial x}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s}})$

${\frac {\partial y}{\partial t}}=\lambda ({\frac {\partial y}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial y}{\partial s}})$

其中$\lambda \neq 0$。可用此兩式消去$h'(s)$。整理後得： ${\frac {\partial y}{\partial h}}{\frac {\partial x}{\partial s}}={\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial x}{\partial h}}$

參考

• https://web.archive.org/web/20070621035057/http://www.math.neu.edu/~bridger/Envelope/envelope.htm

參見

• 克萊羅方程

外部連結

• Special Plane Curves: Envelope （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Envelopes of Lines and Circles （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）