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變分法

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變分法是處理泛函數學領域,和處理函數的普通微積分相對。譬如,這樣的泛函可以通過未知函數的積分和它的導數來構造。變分法最終尋求的是極值函數:它們使得泛函取得極大或極小值。有些曲線上的經典問題採用這種形式表達:一個例子是最速降線,在重力作用下一個粒子沿着該路徑可以在最短時間從點A到達不直接在它底下的一點B。在所有從A到B的曲線中必須極小化代表下降時間的表達式。

變分法的關鍵定理是歐拉-拉格朗日方程。它對應於泛函的臨界點。在尋找函數的極大和極小值時,在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值(或者都不是)。

變分法在理論物理中非常重要:在拉格朗日力學中,以及在最小作用量原理量子力學的應用中。變分法提供了有限元方法的數學基礎,它是求解邊界值問題的強力工具。它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用。而在純數學中的例子有,黎曼調和函數中使用狄利克雷原理

同樣的材料可以出現在不同的標題中,例如希爾伯特空間技術,莫爾斯理論,或者辛幾何變分一詞用於所有極值泛函問題。微分幾何中的測地線的研究是很顯然的變分性質的領域。極小曲面肥皂泡)上也有很多研究工作,稱為普拉托問題

歷史[編輯]

變分法可能是從約翰·伯努利(1696)提出最速曲線(brachistochrone curve)問題開始出現的。[1]它立即引起了雅各布·伯努利洛必達(Marquis de l'Hôpital)的注意。但歐拉首先詳盡的闡述了這個問題。他的貢獻始於1733年,他的《變分原理》(Elementa Calculi Variationum)寄予了這門科學這個名字。歐拉對這個理論的貢獻非常大。

勒讓德(1786)確定了一種方法,但在對極大和極小的區別不完全令人滿意。牛頓萊布尼茨也是在早期關注這一學科,對於這兩者的區別Vincenzo Brunacci(1810)、高斯(1829)、泊松(1831)、Mikhail Ostrogradsky(1834)、和雅可比(1837)都曾做出過貢獻。Sarrus(1842)的由柯西(1844)濃縮和修改的是一個重要的具有一般性的成就。Strauch(1849)、Jellett(1850)、Otto Hesse(1857)、Alfred Clebsch(1858)、和Carll(1885)寫了一些其他有價值的論文和研究報告,但可能那個世紀最重要的成果是Weierstrass所取得的。他關於這個理論的著名教材是劃時代的,並且他可能是第一個將變分法置於一個穩固而不容置疑的基礎上的。1900年希爾伯特發表的23個問題中的第20和23個問題促進了其更深遠的發展。

在20世紀希爾伯特埃米·諾特、Leonida Tonelli、昂利·勒貝格雅克·阿達馬等人做出重要貢獻。Marston Morse將變分法應用在莫爾斯理論中。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar和Clarke廣義變分法最優控制理論發展了新的數學工具。

歐拉-拉格朗日方程[編輯]

在理想情形下,一函數的極大值及極小值會出現在其導數的地方。同樣地,求解變分問題時也可以先求解相關的歐拉-拉格朗日方程。以下以尋找連接平面上兩點最短曲線的例子,說明求解的過程。曲線的長度為

其中

函數至少需為一階可微的函數。若是一個局部最小值,而是一個在端點取值為零並且至少有一階導數的函數,則可得到以下的式子

其中為任意接近的數字。

因此的導數(A的一階導數)在時必為

此條件可視為在可微分函數的空間中,在各方向的導數均為。若假設二階可微(或至少弱微分存在),則利用分部積分法可得

其中為在兩端點皆為0的任意二階可微函數。這是變分法基本引理的一個特例:

其中為在兩端點皆為的任意可微函數。

若存在使,則在周圍有一區間的H也是正值。可以選擇在此區間外為,在此區間內為非負值,因此,和前提不合。若存在使,也可證得類似的結果。因此可得到以下的結論:

由結論可推得下式:

因此兩點間最短曲線為一直線。

在一般情形下,則需考慮以下的計算式

其中f需有二階連續的導函數。在這種情形下,拉格朗日量L在極值處滿足歐拉-拉格朗日方程

不過在此處,歐拉-拉格朗日方程只是有極值的必要條件,並不是充分條件。

費馬原理[編輯]

費馬原理指出:光會沿着兩端點之間所需光程最短的路徑前進。假設為光的路徑,則光程可以下式表示:

其中折射率依材料特性而定。

若選擇,則的一階導數(的微分)為:

將括號中的第一項用分部積分處理,可得歐拉-拉格朗日方程

光線的路徑可由上述的積分式而得。

斯乃爾定律[編輯]

當光進入或離開透鏡面時,折射率會有不連續的變化。考慮

其中是常數。在x<0或x>0的區域,歐拉-拉格朗日方程均和以上描述的相同。因為折射率在二個區域均為定值,在二個區域光都以直線前進。而在x=0的位置,f必須連續,不過f' 可以不連續。在上述二個區域用分部積分的方式解歐拉-拉格朗日方程,則其變分量為

相乘的係數是入射角的正弦值,和相乘的係數則是折射角的正弦值。若依照斯涅爾定律,上述二項的乘積相等,因此上述的變分量為0。因此斯涅爾定律所得的路徑也就是要求光程一階變分量為0的路徑。

費馬原理在三維下的形式[編輯]

費馬原理可以用向量的形式表示:令,而t為其參數,是曲線C參數化的表示,而令為其法線向量。因此在曲線上的光程長為

上述積分和t無關,因此也和C的參數表示方式無關。使曲線最短的歐拉-拉格朗日方程有以下的對稱形式

其中

依P的定義可得下式

因此上述積分可改為下式

依照上式,若可以找到一個函數ψ,其梯度為P,則以上的積分A就可以由在積分端點上ψ的差求得。以上求解曲線使積分量不變的問題就和ψ的level surface有關。為了要找到滿足此條件的函數ψ,需要對控制光線傳動的波動方程式進行進一步的研究。

和波動方程的關係[編輯]

最優控制的理論是變分法的一個推廣

參看[編輯]

參考[編輯]

  1. ^ Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. Silverman, Richard A., 編. Calculus of variations Unabridged repr. Mineola, N.Y.: Dover Publications. 2000: 3. ISBN 978-0486414485. 
  • Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
  • Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98
  • Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
  • Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960
  • Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992
  • Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974
  • Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968
  • Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962

外部連結[編輯]