完全布爾代數

在數學中，完全布爾代數是所有子集都有上確界的布爾代數。完全布爾代數在力迫理論中有重要作用。任何布爾代數A都有一A是其子代數的最小的完全布爾代數。作為偏序集合，這種 A 的補全叫做戴德金補全。

例子

所有有限布爾代數都是完全的。

給定集合的子集的代數是完全布爾代數。

對應於任何拓撲空間的正規開代數都是完全布爾代數。這個例子特別重要，因為所有力迫偏序集合都可以被認為是一個拓撲空間(給由是小於等於給定元素的所有元素的集合的那些集合組成的拓撲的基)。對應的正規開代數可以用來形成等價於通過給定力迫偏序集合的一般擴展的布爾值模型。

反例

作為不完全的布爾代數的一個例子，考慮自然數的所有集合的搜集，並忽略有限差。結果的對象指示為 P(ω)/Fin，由自然數的集合的所有等價類組成，這裡有關的等價關係是兩個自然數的集合是等價的，如果它們的對稱差是有限的。類似的定義布爾運算，例如，如果 A 和 B 是在 P(ω)/Fin 中的兩個等價類，我們定義 $A\land B$ 是 $a\cap b$ 的等價類，這裡的 a 和 b 分別是 A 和 B 某個(任何)元素。

現在設 a₀, a₁,... 是自然數的逐對不相交無限集合，並設 A₀, A₁,... 是它們在 P(ω)/Fin 中對應的等價類。則給定 A₀, A₁,... 在 P(ω)/Fin 中的任何上界 X，我們可以找到一個更小的上界，通過從 X 的一個代表去除每個 a_n 的一個元素。所以 A_n 沒有上確界。

參見

• 完全格