希爾伯特第七問題

命題敘述[編輯]

給定以下兩個等價^[1]敘述：

在等腰三角形中，若底角和頂角的比值為無理數的代數數，則底邊和側邊長度的比值是否恆為超越數？
若 $b$ 是無理數且為代數數、 $a$ 是非 $0,1$ 的代數數，那麼 $a^{b}$ （例如 $2^{\sqrt {2}}$ 、 $e^{\pi }$ = $i^{-2i}$ ）是否恆為超越數？

第二個問題已於1934年由蘇聯數學家阿勒克山德·格爾豐德（俄語：Гельфонд, Александр Осипович）證明，德國數學家西奧多·施耐德也在1935年獨立證明此問題，他們證明的結果即為格爾豐德-施奈德定理（ $b$ 是無理數的條件是必要的，否則若a是代數數，b是有理數， $a^{b}$ 一定是代數數)。

若以廣義的觀點來看，這是通用的對數線性形（linear form in logarithms）的一個例子

b\ln {\alpha }+\ln {\beta }=0

格爾豐德曾研究對數線性形，後來被艾倫·貝克解決了，此稱為是格爾豐德猜想或是貝克定理（英語：Baker's theorem）。艾倫·貝克憑藉此一成果獲得1970年的菲爾茲獎。

在第二個問題成立後，也意味著第一個問題成立。

^ Feldman; Nesterenko. Number Theory IV. Parshin, A. N. (編). Transcendental Numbers. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 1998: 146–147. ISBN 978-3-540-61467-8.

Tijdeman, Robert. On the Gel'fond–Baker method and its applications. Felix E. Browder (編). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII.1. American Mathematical Society. 1976: 241–268. ISBN 978-0-8218-1428-4. Zbl 0341.10026.
Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences 49 Second. 2007: 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.