輻角

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(重新導向自幅角

數學中,複數輻角是指複數在複平面上對應的向量和正向實數軸所成的有向。複數的輻角值可以是一切實數,但由於相差(即弧度)的輻角在實際應用中沒有差別,所以定義複數的輻角主值為輻角)後的餘數,定義取值範圍在)之間。複數的輻角是複數的重要性質,在不少理論中都有重要作用。

定義[編輯]

複數輻角的直觀示意圖

設有非零複數,記作,其中的為實數,那麼複數的輻角指的是使下列等式:

成立的任何實數。直觀上來說,假設非零複數在複平面中對應的向量是(右圖藍色向量),那麼它的輻角是所有能夠描述正實數軸到的轉角的有向角。其中有向角的正方向規定為逆時針方向。圖中可以看出,相差的倍數的角都可以是輻角。這個性質也可以從三角函數是以為周期的周期函數中推導出來。

只有非零複數才有輻角,複數的輻角是沒有定義的。

輻角主值[編輯]

同一個複數的輻角有無窮多個,以集合表示為,而對於所有都相同,所以實際只需要以其中一個輻角為代表,此輻角稱為輻角主值主輻角,記作。一般約定使用區間中的值作為輻角主值(也有另一種常見的約定是以區間中的值作為輻角主值)。如果複數的輻角主值是,那麼它的所有輻角值就是:

輻角的計算[編輯]

給定一個形如的非零複數,輻角主值是將它映射到區間中的函數。輻角主值函數可以用反三角函數來描述:

或者配合半角公式

性質[編輯]

複數的一個輻角絕對值可以用來組成複數的極坐標形式:

在極坐標形式下計算,可以得到複數乘積和商的輻角的規律:

於是對複數冪次的輻角也有:

複數的共軛的輻角則滿足:

參考來源[編輯]