張量 (內蘊定義)

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數學中,處理張量理論的現代無分量component-free英語component-free)方法首先將張量視為抽象對象,表示多重線性概念的某些特定類型。他們一些熟知的性質可由作為線性映射或更廣泛地定義得出;而張量的操作導致了線性代數擴張為多重線性代數

微分幾何中,一個內蘊的幾何論斷也許可以用一個流形上的張量場表示,這樣完全不必使用參考坐標系。在廣義相對論中同樣如此,張量場描述了物理性質。無分量方法在抽象代數同調代數中也很常用,在那裡張量自然地出現了。

用向量空間的張量積定義[編輯]

給定上一個有限向量空間集合,我們可以考慮他們的張量積 。這個張量積中的一個元素稱為一個張量(但這不是本文討論的張量概念)。

向量空間上的張量定義成具有形式

的向量空間中的一個元素(即向量),這裡 V* 是 V 的對偶空間。

如果在我們的積中有,張量稱為,具有反變(contravariant)階數與共變(covariant,也稱協變)階數,總階數。零階張量就是數量(域中的元素),1 階反邊張量是中的向量,1 階共變張量是中的1-形式(因此,後兩個空間經常稱為反變向量與共變向量)。

型張量

自然同構於從線性變換空間。一個實向量空間內積自然對應於張量

稱為相應的度量,一般記作

其它記法[編輯]

文獻中通常不寫出完整的張量積以表示型張量的空間,而使用縮寫:

這個空間的另外一種記法是用從向量空間到向量空間的線性映射來表示。讓

表示所有從的線性映射的集合,這會形成一個向量空間。因此,例如對偶空間(線性泛函的空間)可以寫成

由 universal property 可知,(m,n)-張量有如下自然的同構(isomorphism)關係

在上面的公式中,的角色互換了。特別地,我們有

以及

以下記法

通常用來表示從 VW 的可逆線性變換的空間,但對於張量空間沒有類似的記法。

張量場[編輯]

微分幾何物理學工程學必須經常要處理光滑流形上的張量場。術語「張量'」實際上有時用作張量場的簡稱。一個張量場表達了逐點變化的張量的概念。

張量在不同座標間的變換公式[編輯]

對任何給定向量空間 我們有的一組基底,以及對應的對偶空間 以及和向量基底 對應的對偶基底 (也可用來表示)。上指標與下指標的區別提醒我們分量變換的方式以及向量跟餘向量(covector)或是向量跟餘向量的係數的分別。

例如,取空間

中的張量 ,在我們的坐標系下分量可寫成

這裡我們使用愛因斯坦求和約定,這是處理張量份量的一種常見約定:即當張量分量同時出現了一組上指標與下指標時,我們對這上下指標所有可能值求和,比如說:這符號,在這約定下即代表。也就是說在在愛因斯坦求和約定下我們有。在物理中我們經常使用表達式

來表示張量,就像向量經常寫成分量形式,這可以視為一個數組。假設在另一坐標系中,有另一組基底,則對同一向量來說兩組基底對應的分量將會不同。如果 是兩基底間的變換矩陣(注意這不是一個張量,因為它表達一個基的變化而不是一個幾何實體),也就是

,設 逆矩陣,對同一張量在新基底的張量分量設為,則兩者之間的變換公式為:

注意上面的第二個等式使用了愛因斯坦求和約定。 在舊教材中這個變換規律經常作為一個張量的定義。形式上,這意味這那個張量作為所有坐標變換組成的的一個特定表示

參考文獻[編輯]