歐幾里得幾何

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歐幾里得

歐幾里得幾何指按照歐幾里得的《幾何原本》構造的幾何學

歐幾里得幾何有時就指二維平面上的幾何,即平面幾何,本文主要描述平面幾何。三維空間的歐幾里得幾何通常叫做立體幾何,高維的情形請參看歐幾里得空間

數學上,歐幾里得幾何是指二維平面和三維空間中的幾何,基於點線面假設英語Point–line–plane postulate。數學家也用這一術語表示具有相似性質的高維幾何

其中公設五又稱之為平行公設Parallel Axiom),敘述比較複雜,這個公設衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。在高斯F. Gauss, 1777年—1855年)的時代,公設五就備受質疑,俄羅斯數學家羅巴切夫斯基Nikolay Ivanovitch Lobachevski)、匈牙利數學家波約(Bolyai)闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇,並非必然的幾何真理,也就是「三角形內角和不一定等於一百八十度」,從而發現非歐幾里得的幾何學,即非歐幾何non-Euclidean geometry)。

公理描述[編輯]

歐幾里得證明的要素,由於一個正三角形的存在必須包含每個線段,包含ΑΒΓ等邊三角形的構成,是由Α和Β兩點,畫出圓Δ與圓Ε,並且交叉於第三點Γ上。

歐幾里得幾何的傳統描述是一個公理系統,通過有限的公理來證明所有的命題

歐幾里得平面幾何的五條公理(公設)是:

  1. 從一向另一可以引一條直線。
  2. 任意線段能無限延伸成一條直線。
  3. 給定任意線段,可以以其一個端點作為圓心,該線段作為半徑作一個
  4. 所有直角相等
  5. 若兩條直線都與第三條直線相交,並且在同一邊的內角之和小於兩個直角,則這兩條直線在這一邊必定相交。

第五條公理稱為平行公理平行公設),可以導出下述命題:

平行公理並不像其他公理那麼顯然。許多幾何學家嘗試用其他公理來證明這條公理,但都沒有成功。19世紀,通過構造非歐幾里得幾何,說明平行公理是不能被證明的(若從上述公理體系中去掉平行公理,則可以得到更一般的幾何,即絕對幾何英語Absolute geometry)。

從另一方面講,歐幾里得幾何的五條公理(公設)並不完備。例如,該幾何中的定理:在任意直線段上可作一等邊三角形。他用通常的方法進行構造:以線段為半徑,分別以線段的兩個端點為圓心作圓,將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而,他的公理並不保證這兩個圓必定相交。因此,許多公理系統的修訂版本被提出,其中有希爾伯特公理系統英語Hilbert's axioms

歐幾里得還提出了五個一般概念,也可以作為公理。當然,之後他還使用的其他性質。

  1. 與同一事物相等的事物相等。
  2. 相等的事物加上相等的事物仍然相等。
  3. 相等的事物減去相等的事物仍然相等。
  4. 一個事物與另一事物重合,則它們相等。
  5. 整體大於局部。

現代方法[編輯]

如今,歐幾里得幾何的構造通常不是通過公理化方法,而是通過解析幾何。通過這種方法,可以像證明定理一樣證明歐幾里得幾何(或非歐幾里得幾何)中的公理。這一方法沒有公理方法那麼漂亮,但絕對簡練。

  • 構造

首先,定義點的集合為實數的集合。給定兩個點,定義距離:

.

這就是歐幾里得度量。所有其他概念,如直線、角、圓可以通過作為實數對的點和之間的距離來定義。例如通過點的直線可以定義成點的集合滿足

經典定理[編輯]

參見[編輯]