正圖形

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一些正圖形與正多胞形的例子
Regular pentagon.svg
正五邊形是一個多邊形,是一個正圖形,由5個邊組成的二維正多胞形,其施萊夫利符號為{5}.
Dodecahedron.svg
正十二面體是一個多面體,是一個正圖形,由12個正五邊形面組成的三維正多胞形,其施萊夫利符號為{5,3}.
Schlegel wireframe 120-cell.png
正一百二十胞體是一個四維多胞體,是一個正圖形,由120個正十二面體胞組成的四維正多胞形,其施萊夫利符號為{5,3,3}。(這裡展示的是施萊格爾圖像英語Schlegel diagram
Cubic honeycomb.png
正方體堆砌是一個三維空間堆砌,可被看作是四維的無窮胞體,施萊夫利符號為{4,3,4}.
Octeract Petrie polygon.svg
八維超正方體的256個頂點和1024條棱可以用正交投影來展示。(皮特里多邊形英語Petrie polygon

幾何學中,正圖形又稱正多胞形英語:Regular polytope),即正幾何圖形,是一種對稱性對於英語Flag (geometry)可遞的幾何體,且具有高度對稱性,對於該幾何體內所有同維度的元素(如:點、線、面)都完全具有相同的性質,並且每一個元素皆為一個正圖形,例如,正方體所有的面的面積及形狀皆相同,且皆為正方形,是一個二維正多胞形、所有邊的長度也相同,所有角的角度及形式也相同,因此正方體是一個正圖形或正多胞形。對於所有元素,或叫j維面(對所有的 0 ≤ j ≤ n,其中n是該幾何體所在的維度) — 胞、面等等 — 也都對於多胞形的對稱性可遞,也是≤ n維的正圖形。

正圖形是正多邊形(例如,正方形或者正五邊形)和正多面體(例如立方體)的向任意維度的推廣類比。正圖形極強的對稱性使它們擁有極強的審美價值,吸引着數學家和數學愛好者。

一般地,n維正圖形被定義為有正維面英語Facet (geometry)[(n − 1)-表面]和正頂點圖。這兩個條件已經能充分地保證所有面、所有頂點都是相似的。但要注意的是,這一定義並不適用於抽象多胞形英語abstract polytope

一個正圖形能用形式為{a, b, c, ...., y, z}的施萊夫利符號代表,其正的面為{a, b, c, ..., y},頂點圖為{b, c, ..., y, z}。

分類和描述[編輯]

正圖形最基礎的分類是按其維度。

它們能夠按照對稱性進一步分類。例如,正方體正八面體有着相同的對稱性,同樣,正十二面體正二十面體也是。事實上,對稱群大多依照正圖形命名,例如正四面體對稱群和正二十面體對稱群。

3種特殊類型的正圖形存在於所有維度:

在二維,這裡有無窮多個正多邊形。在三維和四維這裡有許多上述三種之外的正多面體正多胞體。在五維及以上維,只存在這三種類型的正圖形。另見正圖形列表

正圖形的概念有時被擴展,使其包括了另外一些相關的幾何對象。其中一些有正的例子,下面「歷史發現」一章將會詳細說明。

施萊夫利符號[編輯]

施萊夫利符號是一個簡潔有力的多面體表示法,是19世紀由路德維希·施萊夫利所發明的,一個改進了的版本隨後成為了標準。這種記號可通過維度依次增加一獲得最好的解釋。

  • 一個有n條邊的正多邊形可以標記為{n}。所以一個等邊三角形是{3},一個正方形是{4}……一個繞其中心旋轉m圈的正星形多邊形被標記為分式{n/m},這裡nm互質的,例如正五角星是{5/2}。
  • 一個有着面{n},並且一個頂點處有p個面相交的正多面體標記為{n, p}。九個正多面體是:{3, 3}、{3, 4}、{4, 3}、{3, 5}、{5, 3}、{3, 5/2}、{5/2, 3}、{5, 5/2}和{5/2, 5}。{p}就是這個正多面體的頂點圖
  • 一個有着胞{n, p},並且每一條棱處有q個胞相交的正多胞體標記為{n, p, q}。其頂點圖為{p, q}。
  • 一個五維正多胞體是{n, p, q, r},等等。

正圖形的對偶性[編輯]

正圖形的對偶形也是正圖形。對偶圖形的施萊夫利符號就是將原來的符號倒過來寫:{3,3}為自身對偶,{3,4}與{4,3}對偶,{4,3,3}與{3,3,4}對偶,以此類推。

正圖形的頂點圖的對偶即是其對偶圖形的維面。例如{3,3,4}的頂點圖是{3,4},其對偶即是{4,3} — {4,3,3}的一個胞。

任何維的超方形正軸形都是互相對偶的。

如果其施萊夫利符號是回文,即正反讀都一樣,那麼這個正圖形就是自身對偶的。自身對偶正圖形包括:

正單純形[編輯]

1-正單純形 到 4-正單純形 的圖像
1-simplex t0.svg 2-simplex t0.svg 3-simplex t0.svg 4-simplex t0.svg
線段 正三角形 正四面體 正五胞體
  Regular triangle.svg Tetrahedron.svg Schlegel wireframe 5-cell.png

我們從點A開始。標下與A相距r的點B,並連接它們,形成線段。在垂直與它的第二維度標下與AB都相距r的第三點C,並連接ACBC,形成正三角形。在垂直與它的第三維度標下與三點都相距r的第四點D,連接四點,便形成正四面體。用同樣的方法,我們可以得到更高維的類似正圖形。

這些就是正單純形。以維度來排序,它們是:

0.
1. 線段
2. 正三角形(正三邊形)
3. 正四面體
4. 正五胞體 4-單純形
5. 五維正六胞體 5-單純形
... n-單純形有n+1個頂點。

超方形[編輯]

2-超方形 到 4-超方形 的圖像
Cross graph 2.svg Cube graph ortho vcenter.png Hypercubestar.svg
正方形 立方體 超正方體
Kvadrato.svg Hexahedron.svg Schlegel wireframe 8-cell.png

從一個點A開始。連一條線到距離為rB,形成一條線段。延伸第二條長為r的線,垂直於AB,將B連接到C,同樣鏈接AD,形成一個正方形ABCD。從每個頂點同樣延伸出長為r的線,同時垂直於ABBC,標記點EFGH形成立方體ABCD-EFGH。用同樣的方法,我們可以得到更高維的類似正圖形。

它們就是超方形或稱正測形。以維度來排序,它們是:

0.
1. 線段
2. 正方形(正四邊形)
3. 立方體(正六面體)
4. 四維超正方體(正八胞體)4-超方體
5. 五維超正方體(五維正十胞體)5-超方體
...一個n-超方體有2n個頂點。

正軸形[編輯]

2-正軸形 到 4-正軸形 的圖像
2-orthoplex.svg 3-orthoplex.svg 4-orthoplex.svg
正方形 正八面體 正十六胞體
Kvadrato.svg Octahedron.svg Schlegel wireframe 16-cell.png

從一個點O開始。從O向兩個相反的方向延出兩條線到距O點距離為rAB,互相之間距離為2r,形成一條線段。同樣再畫線段COD,長度為2r,以O為中點而垂直於AB。連接4個頂點形成正方形ACBD。再畫線段EOF,同樣長度為2r,中點為O,同時垂直於ABCD(即上下方向)。將其頂點與正方形頂點一一相連得到正八面體。用同樣的方法,我們可以得到更高維的類似正圖形。

這樣得到的圖形稱為正軸形交叉形。以維度來排序,它們是:

0.
1. 線段
2. 正方形(正四邊形)
3. 正八面體
4. 正十六胞體4-正軸形
5. 正三十二超胞體(五維正三十二胞體)5-正軸形
...n-正軸形有2n個頂點。

正無窮胞體 — 無窮多胞形[編輯]

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

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  • Stella: Polyhedron Navigator Tool for exploring 3D polyhedra, 4D polytopes, and printing nets
  • Ernst Haeckel's Kunstformen der Natur online (German)
  • Interesting fold-out nets of the cube, octahedron, dodecahedron and icosahedron