絕對連續

在數學中，絕對連續是一個光滑性質，比連續和一致連續都要嚴格。函數的絕對連續和測度的絕對連續都有定義。

函數的絕對連續[編輯]

設(X, d)為一個度量空間，並設I為實直線R上的區間。函數f : I → X在I上絕對連續，如果對於每一個正數 $\varepsilon$ ，都存在一個正數 $\delta$ ，使得當I的兩兩不交的子區間[x_k, y_k]的（有限或無限）序列滿足

\sum _{k}|y_{k}-x_{k}|<\delta

時，就有：

\sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\varepsilon .

所有從I到X的絕對連續函數的集合記為AC(I; X)。

一個進一步的推廣是曲線f : I → X的空間AC^p(I; X)，使得：

d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,\mathrm {d} \tau

，對於所有的

[s,t]\subseteq I

對於L^p空間L^p(I; R)中的某個m。

如果f : [a,b] → R是絕對連續的，那麼它便具有盧津N性質。也就是說，對於任何 $L\subseteq [a,b]$ 使得 $\lambda (L)=0$ ，都有 $\lambda (f(L))=0$ ，其中 $\lambda$ 表示R上的勒貝格測度。

如果μ和ν是相同測度空間上的測度，那麼我們稱μ關於ν絕對連續，如果對於每一個滿足ν(A) = 0的集合A都有μ(A) = 0，記為「μ ≪ ν」。用符號來表示，就是：

\mu \ll \nu \iff \left(\nu (A)=0\implies \mu (A)=0\right).

測度的絕對連續是自反和傳遞的，但不是反對稱的，因此它是一個預序關係，而不是偏序關係。如果μ ≪ ν且ν ≪ μ，那麼測度μ和ν稱為等價的。

如果μ是帶號測度或複測度，那麼我們稱μ關於ν絕對連續，如果它的變差|μ|滿足|μ| ≪ ν；等價地，如果每一個滿足ν(A) = 0的集合A都是μ-零測集。

拉東-尼科迪姆定理說明，如果μ關於ν絕對連續，且ν是σ-有限測度的，那麼μ便具有一個關於ν的密度，或「拉東-尼科迪姆導數」，這意味着存在一個ν-可測函數f，在[0, +∞)內取值，記為f = ^dμ⁄_dν，使得對於任何ν-可測集A，都有：

\mu (A)=\int _{A}f\,\mathrm {d} \nu .

在大部分應用中，如果我們只說n維歐幾里得空間Rⁿ上的測度是絕對連續的，而不具體說明它是關於哪一個測度絕對連續的，那麼通常就意味着是關於勒貝格測度絕對連續的。由於Rⁿ關于勒貝格測度是σ-有限的，因此Rⁿ上的絕對連續測度正好是具有密度的測度；特別地，絕對連續的概率測度正好是具有概率密度函數的測度。

實直線的波萊爾子集上的測度μ關于勒貝格測度絕對連續，當且僅當點函數

F(x)=\mu ((-\infty ,x])

是一個局部絕對連續的實函數。也就是說，一個函數是局部絕對連續的，當且僅當它的分布 (數學)|分布導數是一個測度，關于勒貝格測度絕對連續。

通過勒貝格分解定理，每一個測度都可以分解成一個絕對連續測度與一個奇異測度的和。關於非（絕對連續）的測度，參見奇異測度。

以下的函數是處處連續的，但不是絕對連續的：

f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}

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Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel. 2005. ISBN 3-7643-2428-7.
Royden, H.L. Real Analysis. Collier Macmillan. 1968. ISBN 0-02-979410-2.