羅素悖論

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羅素悖論英語:Russell's paradox),也稱為理髮師悖論,是英國哲學家羅素於1901年提出的悖論,一個關於的內涵問題。羅素悖論當時的提出,造成了第三次數學危機

羅素悖論[編輯]

我們通常希望:任給一個性質,滿足該性質的所有集合總可以組成一個集合。但這樣的企圖將導致悖論:

羅素悖論:設有一性質P(EX:"年收入高於三千萬"就是一個性質),並立以一性質函數P(x),且其中的自變量x有此特性:「x∉{P(x)}」,

現假設由性質P能夠確定一個滿足性質P的集合A——也就是說「A={x|x ∉ A}」。那麼現在的問題是:A∈A是否成立?

首先,若A∈A,則A是A的元素,那麼A不具有性質P,由命題函數P可以得知A∉A;

其次,若A∉A,根據定義,A是由所有滿足性質P的類組成,也就是說,A具有性質P,所以A∈A。

羅素悖論還有一些更為通俗的描述,如理髮師悖論書目悖論。但理髮師悖論被一些人認為只是羅素悖論的一種描述方式,僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。

羅素悖論在類的理論中通過內涵公理而得到解決。

理髮師悖論和羅素悖論等價[編輯]

理髮師悖論和羅素悖論是等價的:

因為,如果把每個人看成一個集合,這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那麼,理髮師宣稱,他的元素,都是城裡不屬於自身的那些集合,並且城裡所有不屬於自身的集合都屬於他。那麼他是否屬於他自己?這樣就由理髮師悖論得到羅素悖論。反過來的變換也是成立的。

另一種等價的悖論為書目悖論,第一類的目錄有它自己的條目,經典的例子就是維基百科,第二類的書目錄則沒有它自己的條目,一般的書目都是如此,問:若把所有第二類的書做個總目錄,它應不應該含有它自己的條目?

參考條目[編輯]