費馬點

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Fermat Points.png

幾何學中,費馬點是位於三角形內的一個點。給定一個三角形△ABC的話,從這個三角形的費馬點P到三角形的三個頂點ABC的距離之和

比從其它點算起的都要小。這個特殊點對於每個給定的三角形都只有一個。

費馬點問題最早是由法國數學家皮埃爾·德·費馬在一封寫給意大利數學家埃萬傑利斯塔·托里拆利氣壓計的發明者)的信中提出的。[1]托里拆利最早解決了這個問題,而19世紀的數學家斯坦納重新發現了這個問題,並系統地進行了推廣,因此這個點也稱為托里拆利點斯坦納點,相關的問題也被稱作費馬-托里拆利-斯坦納問題

源起:費馬的問題[編輯]

1638年,勒內·笛卡兒邀請費馬思考關於到四個頂點距離為定值的函數的問題。這大概也是1643年,費馬寫信向埃萬傑利斯塔·托里拆利詢問關於費馬點的問題的原因[1]。費馬的問題是這樣的:

平面上有三個不在同一條直線上的點A, B, C,對平面上的另一個點P,考慮點P到原來的三個點的距離之和:PA + PB + PC。是否有這樣一個點P0,使得它到點A, B, C的距離之和P0A + P0B + P0C比任何其它的PA + PB + PC都要小?

這個問題首先被托里拆利解決,但他生前並沒有發表。托里拆利的學生溫琴佐·維維亞尼在1659年將他的遺作整理發表,其中包括了費馬點問題的證明[2]:124。他的解法中用到了橢圓的焦點的性質。[3][4]

費馬-托里拆利點[編輯]

托里拆利的解法中對這個點的描述是:對於每一個角都小於120°的三角形ABC的每一條邊為底邊,向外作正三角形,然後作這三個正三角形的外接圓。托里拆利指出這三個外接圓會有一個共同的交點,而這個交點就是所要求的點。這個點和當時已知的三角形特殊點都不一樣。這個點因此也叫做托里拆利點。

1647年,博納文圖拉·卡瓦列里在他的著作《幾何學題集》(Exerciones Geometricae)中也探討了這個問題。他發現,將作正三角形時作出的三個點與對面的頂點連接,可以得出三條線段。這三條線段交於托里拆利點,而且托里拆利點對每條邊張的角都是120°。[5]

作法及證明[編輯]

Fermat points.png

下面是三角形的費馬點的作法:

  • 當有一個內角不小於120°時,費馬點為此角對應頂點。
  • 當三角形的內角都小於120°時
    • 以三角形的每一邊為底邊,向外做三個正三角形△ABC'△BCA'△CAB'
    • 連接CC'BB'AA',則三條線段的交點就是所求的點。[6]

幾何證明[編輯]

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三角形的內角都小於120°的情況:
首先證明CC'BB'AA'三條線交於一點。

P為線段CC'BB'的交點。注意到三角形C'AC和三角形BAB'全等的,三角形C'AC可以看做是三角形B'ABA點為軸心順時針旋轉60度得到的,所以角等於60度,和相等。因此,ABC'P四點共圓。同樣地,可以證明AB'CP四點共圓。於是:

從而。於是可以得出:A'BCP四點共圓,即

AA'P三點共線。也就是說CC'BB'AA'三條線交於一點。[6][7]:90

接下來證明交點P就是到三個頂點距離之和最小的點。

在線段AA'上選擇一點Q,使得QP = PC。由於,所以等腰三角形PQC是正三角形。於是。同時QC = PCBC = A'C,於是可以得出三角形BPC和三角形A'QC是全等三角形。所以QA' = PB。綜上可得出:

PA + PB + PC = AA'

對於平面上另外一個點P',以P'C為底邊,向下作正三角形P'Q'C。運用類似以上的推理可以證明三角形BP'C和三角形A'Q'C是全等三角形。因此也有:

P'A + P'B + P'C = AP' + P'Q' + Q'A

平面上兩點之間以直線長度最短。因此

P'A + P'B + P'C = AP' + P'Q' + Q'A' ≥ AA' = PA + PB + PC.

也就是說,點P是平面上到點ABC距離的和最短的一點。[6][2]:124-125

最後證明唯一性。

如果有另外一點P'使得P'A + P'B + P'C = PA + PB + PC,那麼

AA' = AP' + P'Q' + Q'A'
Fermat proof 2.png

因此點P'Q'也在線段AA'之上。依照P'Q'的定義,可以推出

因此P'也是CC'BB'AA'三條線的交點。因此P'點也就是P點。因此點P是唯一的。[7]:92

有一內角大於120°的情況。

如右圖, 大於120°,P為三角形內一點。以BA為底邊,向上作正三角形BAF;以PA為底邊,向上作正三角形PAQ。於是三角形AQF和三角形APB是全等三角形。FQ = PB。所以

PA + PB + PC = FQ + QP + PC.

延長FAQCD點,則

FQ + QP + PC > FQ + QC = FQ + QD + DC > FD + DC = FA + AD + DC > FA + AC = AB + AC.
PA + PB + PC > AB + AC.

所以A點到三頂點的距離比三角形內任意一點到三頂點的距離都小,即A點為費馬點

物理學解釋[編輯]

費馬的問題也可以用物理的方法來解決。將平面上所給的三個給定點鑽出洞來,再設有三條繩子系在一起,每條繩子各穿過一個洞口,而繩子的末端都綁有一個固定重量m的重物。假設摩擦力可以忽略,那麼繩子會被拉緊,而繩結最後會停在平面一點的上方。可以證明,這個點就是三個給定點所對應的費馬點。首先,由於繩長是固定的,而繩子豎直下垂的部分越長,重物的位置也就越低,勢能越低。在平衡態的時候,系統的勢能達到最小值,也就是繩子豎直下垂的部分的長度達到最大值,因此水平的部分的長度達到最小值。而繩子的水平部分的長度就是PA + PB + PC,因此這時PA + PB + PC最小,也就是達到費馬點。

在系統處於平衡態時,由力學原理可知繩子兩兩之間張成的角度 之間滿足合力公式:

也就是說這三個角相等,即都是120°。[6][8]:197-198

推廣[編輯]

費馬點的定義可以推廣到更多點的情況。設平面上有m個點:P1 , P2 , ... , Pm,又有正實數:λ1 , λ2 , ... , λm。費馬問題可以推廣為:尋找一個點X,使得它到這m個點的距離在加權後之和:

是最小的。

高維的情況[編輯]

費馬點問題還可以推廣到高維空間中。比如說在n向量空間中,給定m個點:p1 , p2 , ... , pm,對空間中另一點x,設它到前述m個點的歐幾里德距離之和為函數Dist(x)

則費馬點問題就變成尋找使得Dist(x)最小的一點pmin[9]:236-237。與平面費馬點問題相似,高維情況下的費馬點問題也有由林德羅夫和斯圖姆證明的類似結論[9]:237

  1. 使得Dist(x)最小點pmin並且是唯一的。
  2. 如果從任何一點pi到剩下的m-1點方向上的m-1個單位向量的向量和長度都大於1,那麼:
    • pmin不是p1 , p2 , ... , pm中任何一點,
    • pminp1 , p2 , ... , pm方向上的m個單位向量的向量和是0。
  3. 如果從某一點pi到剩下的m-1點方向上的m-1個單位向量的向量和長度小於等於1,那麼pmin就是這個點。

對於加權的費馬點問題,也有類似的結論,只需將上述結論中的向量和替換為加權向量和,條件中的1也要替換為對應點的權重[9]:249-250

參見[編輯]

參考來源[編輯]

  1. ^ 1.0 1.1 P. de Fermat, "Œvres" , I , H. Tannery (ed.), Paris (1891) (Supplement: Paris 1922)
  2. ^ 2.0 2.1 O. Bottema. Selected Topics in Elementary Geometry. Springer,第2版,插圖版. 2008. ISBN 9780387781310. 
  3. ^ E. Torricelli, "Opere" , I/2 , Faënza (1919) pp. 90–97
  4. ^ E. Torricelli, "Opere" , III , Faënza (1919) pp. 426–431
  5. ^ Clark Kimberling. Shortest connectivity: an introduction with applications in phylogeny. Springer. 2004. ISBN 978-0387235387. 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 張雄. 《費馬一一斯坦勒爾問題與平衡態公理》 (PDF). 《數學傳播》: 75–79. (原始內容 (PDF)存檔於2012-11-19). 
  7. ^ 7.0 7.1 Radmila Bulajich Manfrino, José Antonio Gómez Ortega, Rogelio Valdez Delgado. Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach. Springer, 插圖版. 2009. ISBN 9783034600491. 
  8. ^ Alexander Ostermann, Gerhard Wanner. Geometry by Its History. Springer. 2012. ISBN 9783642291630. 
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 Vladimir Boltyanski, Horst Martini, V. Soltan, V. Valerii Petrovich Soltan. Geometric Methods and Optimization Problems. Springer, 插圖版. 1999. ISBN 9780792354543.