阿達馬矩陣

在數學中，阿達馬矩陣（英語：Hadamard matrix）是一個方陣，每個元素都是 +1 或 −1，每行都是互相正交的。阿達馬矩陣常用於糾錯碼，如 Reed-Muller碼。阿達馬矩陣的命名來自於法國數學家雅克·阿達馬。

性質

n 階的阿達馬矩陣 H 滿足下面的式子

$HH^{\mathrm {T} }=nI_{n}$

這裡 I_n 是 n × n 的單位矩陣。

假設 M 是一個 n 階的實矩陣，它的每個元素都是有界的

|M_ij| ≤1.

則存在阿達馬不等式：

$|\operatorname {det} (M)|\leq n^{n/2}.$

當且僅當M是阿達馬矩陣式上式取等號。

阿達馬矩陣的階數必須是1、2，或者是4的倍數。

西爾維斯特構造法

阿達馬矩陣最初的構造的例子是由詹姆斯·西爾維斯特給出的。假設H是一個n階的阿達馬矩陣，則下面的矩陣

${\begin{bmatrix}H&H\\H&-H\end{bmatrix}}$

給出一個2n階的阿達馬矩陣。連續使用這個方法，我們可以給出下面的一系列矩陣：

$H_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$

$H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}$

$H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}$

$\vdots$

利用這種方法，西爾維斯特成功地構造了任何2^k 階阿達馬矩陣，其中k為非負整數。

西爾維斯特給出的矩陣有些特殊的性質。他們都是對稱矩陣，並且這些矩陣的跡都是0。第一行和第一列的元素都是+1，其他各行各列的元素都是一半+1，一半-1。這些矩陣和沃爾什函數有密切的關係。

阿達馬猜想

在阿達馬矩陣理論最重要的開放性問題(即尚且無法判斷對錯的問題)是存在性的問題。

即阿達馬猜想: 對於每個4的倍數 n = 4k，k 為自然數，都存在 n 階的阿達馬矩陣。

西爾維斯特構造法給出了階數為1, 2, 4, 8, 16, 32 等等的阿達馬矩陣，之後阿達馬本人給出了階數為12和20的阿達馬矩陣。雷蒙·巴雷隨後給出了任何q+1 階的阿達馬矩陣的方法，其中q 是任何模4為3的質數任意次冪。他也給出了形式為2(q+1)的阿達馬矩陣的方法，其中q 是任何模4為1的質數任意次冪。他使用了有限域的辦法得出了這些結論。阿達馬猜想很可能就是Paley提出的。現在有了更多的構造阿達馬矩陣的辦法。

2004年6月21日，Hadi Kharaghani和Behruz Tayfeh-Rezaie宣布構造出了428階的阿達馬矩陣。現在最小的尚未被構造出來的4k階阿達馬矩陣是668階。